湖北省2020届高三数学4月份调研考试试题 理（含解析）

湖北省2020届高三数学4月份调研考试试题 理（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数不等式的解法得到 ，再由集合的并集的概念得到结果.【详解】集合， ，根据集合的并集的概念得到.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了集合的并集的解法，以及指数不等式的解法.2.已知复数，则下列关系式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的模的计算得到进而判断其它选项的正误.【详解】复数，排除AB，故得到故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的模长的计算，属于简单题.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的两角和的公式将原式子进行化一，再由诱导公式得到 【详解】已知，化一得到，则 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数化一公式的应用，以及诱导公式的应用，属于基础题.4.已知双曲线 的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的离心率公式得到进而得到渐近线方程.【详解】已知双曲线 的离心率为，即双曲线的渐近线方程为： 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系，属于基础题.5.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，由棱锥体积公式计算得到结果.【详解】根据题意得到原图是下图中的四棱锥，根据题意得到四边形边长为2，棱锥的高为1，故四棱锥的体积为： 故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6.已知函数是定义域为的奇函数，当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】,函数是定义域为的奇函数，根据函数表达式可得到函数单调递增，故只需要.【详解】当时，, 函数是定义域为的奇函数，当时，,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，对于解不等式的问题，如果不等式的解析式未知或者已知表达式，直接解不等式非常复杂，则通常是研究函数的奇偶性和单调性来达到解不等式的目的.7.甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（ ）A. 36种B. 30种C. 24种D. 12种【答案】C【解析】【分析】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种, 剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有，进而得到结果.【详解】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有，故共有种方法.故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)8.如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点， ，则的最大值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为： 故得到 故得到 ， 故最大值为：2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.9.在中，给出下列说法：若，则一定有；恒有；若，则为锐角三角形.其中正确说法的个数有（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据三角形中大边对大角以及正弦定理得到正确；由正弦函数的单调性得到正确；由前两个判断的基础得到故最后一个错误.【详解】在中，若，根据大边对大角可得到，故正确；在中， 正弦函数在这一区间内是单调递增的，故得到 故正确；若，即 故三角形为钝角三角形，故错误.故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意正弦定理、诱导公式等知识的合理运用10.已知函数，其中，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题干得到函数在处取得最大值，当 时，有两个零点,故这两个零点应该是，得到进而求解.【详解】函数，其中，恒成立,说明函数在处取得最大值，又因为在区间上恰有两个零点，当 时， 在这个范围内有两个零点,故这两个零点应该是 结合条件：当时取得最大值，故根据三角函数的图像的性质得到，解得.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的性质的应用，整体思想的应用，整体思想是将 x +看做一个整体，地位等同于sinx中的x。11.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果.【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有 当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，由间接法得到满足条件的情况有共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，故满足条件的事件的概率为： 故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)12.已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，对函数求导得到函数的最小值，得到变形得到，再构造函数，得到函数最小值即可.【详解】构造函数， 当时函数单调递增，无最大值；当时，函数 函数最小值为 令 函数在 故得到 故答案为：B【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，考查了构造函数与转化思想，是综合题二、填空题。13.在的展开式中的系数为_.【答案】-84【解析】【分析】根据二项式展开式公式得到，进而得到当时得到项，代入求解即可.【详解】的展开式为： 当时得到项，代入得到系数为 故答案为：-84.【点睛】这个题目考查了二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围().第m项：此时,直接代入通项；常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.14.已知实数，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】根据不等式画出可行域，结合图像得到目标函数最值.【详解】根据不等式画出可行域如图中阴影部分所示：化为：,当直线的截距最小时目标函数有最大值，当直线过点C时，取得最大值，设 代入得到最大值2.故答案为：2.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。15.已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为，则正三棱锥的体积为_.【答案】或【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】正三棱锥的外接球的表面积为，根据公式得到根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P点在底面的投影为H点，则，底面三角形的外接圆半径为，根据正弦定理得到，故得到外接圆半径为在三角形中根据勾股定理得到 三棱锥的体积为： 代入数据得到或者 故答案为：或【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16.如图，过抛物线 焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据焦半径公式表示出面积表达式，根据直线和x轴夹角的范围得到面积的范围.【详解】设直线AC和x轴的夹角为由焦半径公式得到 面积之和为： 通分化简得到 原式子化简为 根据二次函数的性质当t=1时有最小值，此时抛物线方程为： 故答案为：.【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质解题的关键是利用了抛物线的定义以及焦半径公式。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，其前项和为，当时，成等差数列.（1）求证为等差数列；（2）若，求.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)根据等差数列的概念得到，变形化简得到 ，则，得证；（2）根据第一问得到的结论得到，即，由得，即，联立两式求解.【详解】（1）当时，由，成等差数列得：，即，即 ，则 ，又，故是公差为1的等差数列. （2）由（1）知数列公差为1，由，得，即，由得，即，联立解得：.【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用,以及等差数列的通项公式的应用.18.已知四棱锥中，底面，.（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（2）当直线与平面所成的角为45时，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】(1)根据几何关系得到面，进而得到点面距离；（2）根据线面角得到，所以，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，进而得到二面角的余弦值.【详解】（1）由，知，则，由面，面得，由，面，则面，则点到平面的距离为一个定值，.（2）由面，为在平面上的射影，则为直线与平面所成的角，则，所以.由，得，故直线、两两垂直，因此，以点为坐标原点，以、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得，于是，设平面的法向量为，则，即，取，则，于是；显然为平面的一个法向量，于，分析知二面角的余弦值为.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的找法，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。19.已知椭圆 的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于、两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记，的斜率分别为，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）根据题干列出式子，结合求解即可；（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，设，根据韦达定理化简得到结果.当直线与轴重合时验证即可.【详解】（1）椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为，结合题干条件得到，解之得，由，知故椭圆的方程为：，（2）设， 若直线与轴不重合时，设直线的方程为，点，将直线代入椭圆方程整理得：，显然，则， 若直线与轴重合时，则，此时，而，故. 综上所述，存在实数符合题意.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用20.近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2020年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.（1）若在该市场随机选取3个2020年成交的二手电脑，求至少有2个使用时间在上的概率；（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格.（）由散点图判断，可采用作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限的回归方程，若，选用如下参考数据，求关于的回归方程.5.58.51.9301.479.75385（）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用附：参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考数据：，.【答案】(1) (2) （） （）元【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在上的概率为：，满足题意的有；（2）（）根据公式计算得到其中的，进而得到表达式；（）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在，上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04，由上一问的表达式得到各个区间上的相应的估计值，进而得到平均值.【详解】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在上的概率为：，设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在”为事件，则（2）（）由得，即， ，即，所以.（）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在，上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中回归方程，在区间上折旧电脑价格的预测值为，在区间上折旧电脑价格的预测值为，在区间上折旧电脑价格的预测值为，在区间上折旧电脑价格的预测值为，在区间上折旧电脑价格的预测值为，于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为：（元）【点睛】本题考查回归分析回归方程的计算，频率分布直方图的应用，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.21.已知 .（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.【答案】(1) (2) 三个零点【解析】【分析】(1) 由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.【详解】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，时，递减，时，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，一方面，且在递减，所以在区间有一个零点.另一方面，设 ，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为， ，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得 ，令，则，当时，递减，则，而，故；当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有： ，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解