河南省八市重点高中联盟2020届高三数学第五次测评试题 理（含解析）

河南省八市重点高中联盟2020届高三数学第五次测评试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B根据补集和交集的定义即可求出【详解】集合Ay|y2x1（1，+），Bx|x11，+），则RB（，1）则A（RB）（1，1），故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2.已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】由题 故 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.等比数列中，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】将 转化为关于 和q的算式，计算出q即可求出【详解】因为q4，所以q8+q420，所以q44或q45（舍），所以q22，1，所以故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，要求熟练掌握等比数列的性质的应用，比较基础4.如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由定积分的运算得：S阴（1）dx（x），由几何概型中的面积型得：P（A），得解【详解】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S阴（1）dx（x），设“点M恰好取自阴影部分内”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选：B【点睛】本题考查了定积分的运算及几何概型中的面积型，考查基本初等函数的导数，属基础题5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用两角差的正余弦公式展开求得tan的值，再利用二倍角公式求得的值【详解】由题 ，则 故 故选：A【点睛】本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案【详解】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：由正方体的性质得 为直角三角形， 为正三角形故选：C【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档7.已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，可得，两边平方后结合隐含条件得答案【详解】如图， 由题意可得，则2b2c2，即2（a2c2）c2，则2a23c2，即e故选：D【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8.已知函数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题推导函数关于点（2,1）对称即可求解【详解】因为 故函数关于点（2,1）对称，则 故选：B【点睛】本题考查函数的对称性，考查对数的运算，考查推理计算能力，是中档题9.已知将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数yAsin（x+）的图象变换即可得的图象，利用函数的对称性求解即可【详解】由题 又和的图象都关于对称，则 ，得 ，即，又，故， ，则故选：A【点睛】本题考查，函数yAsin（x+）的图象变换确定其解析式，考查三角函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题10.已知实数，满足，若的最大值是3，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出z最大时，a的取值范围【详解】令当时，不等式组的可行域如图阴影所示： 将目标函数变形得y2x+z，由题知z无最大值，舍去当时，不等式组的可行域如图阴影所示：将目标函数变形得y2x+z，由题知z最大时，直线的纵截距最大，在（0,3）取得最大3，符合题意；当时，不等式组的可行域如图阴影所示将目标函数变形得y2x+z，由题知z最大时，直线的纵截距最大，在（0,3）取得最大3，符合题意；综上： 故选：A【点睛】本题考查线性规划，考查分类讨论思想和数形结合思想，准确作图计算是关键是中档题11.已知函数，若方程有五个不同的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f（x）f（x）有五个不同的实数根等价于yf（x）的图象与yg（x）的图象有5个交点，作图可知，只需yax与曲线ylnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与ylnx切于点P（x0，y0），得lnx01，即f（e），即过原点的直线与ylnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，得解【详解】设g（x）f（x），则yg（x）的图象与yf（x）的图象关于原点对称，方程f（x）f（x）有五个不同的实数根等价于函数yf（x）的图象与yg（x）的图象有5个交点，由图可知，只需yax与曲线ylnx在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与ylnx切于点P（x0，y0），由f（x），则ylnx的切线为ylnx0（xx0），又此直线过点（0，0），所以lnx01，所以x0e，即f（e），即过原点的直线与ylnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，故选：B【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题12.在一个圆锥内有一个半径为的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为，则（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】画出三视图及正视图，设圆锥的底面半径为，高为 ,得，进一步得圆锥体积，求导求最值即可求解【详解】几何体如图一所示：其正视图如图二所示设圆锥的底面圆心为O, 半径为，高为,则OA=, 又圆锥体积 令 ，则 当，故在 单调递增，在单调递减，故在取得最小值，此时 故选：B【点睛】本题考查球的组合体问题，考查利用导数求最值，考查空间想象和转化化归能力，是难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知向量，满足，向量在向量方向上的投影为1，则_.【答案】【解析】【分析】由投影求得，再由模长公式求解即可【详解】因为向量在向量方向上投影为1则| 2故答案为2【点睛】本题考查平面向量的数量积及几何意义，考查模长公式，注意平面向量的数量积公式的灵活运用14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为_.（用数字作答）【答案】23【解析】【分析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论：设甲参加，乙不参加，设乙参加，甲不参加，设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+523，得解【详解】设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5，综合得：不同的选法种数为9+9+523，故答案为：23【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题15.在数列中，是数列的前项和，若，则_.【答案】1010【解析】【分析】讨论n的奇偶性得的周期性，再求和即可【详解】当n为偶数，当n为奇数，即故 即为周期为4的数列，又故 故，则1010故答案为1010【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的周期性及求和，准确计算是关键，是中档题16.已知双曲线：的左、右顶点分别为，点在曲线上，若中，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出P的坐标（x，y）满足的条件，然后求解a，b的关系即可，【详解】如图，过B作BMx轴，PBAPAB，则PABPBM，PAB+PBx即kPAkPB1设P（x，y），又A（a，0），B（a，0），x2y2a2，ab，则双曲线C的渐近线方程为yx，故答案为：yx【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图中，为的中点，.（1）求边的长；（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.【答案】（1）10；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得cosADBcosADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD252+9+BD2160，进而解得BC的值（2）由（1）可知ADC为直角三角形，可求SADC6，SABC2SADC12，利用角平分线的性质可得，根据SABCSBCE+SACE可求SBCE的值【详解】（1）因为在边上，所以，在和中由余弦定理，得，因为，所以，所以，.所以边的长为10.（2）由（1）知为直角三角形，所以，.因为是的角平分线，所以.所以，所以.即的面积为.【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题18.如图，三棱柱中，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）若与平面所成的线面角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面ACC1A1平面ABC，结合面面垂直的性质可得BCA1C，再由B1C1BC，得A1C平面AB1C1；（2）取AC中点M，连接A1M，由已知可得A1MAC，且，令AA1AC2CB2，则以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，过C且平行于A1M 的直线为z轴建立空间直角坐标系分别求出平面ACB1 与平面A1B1C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C1AB1C的余弦值【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以.因为是平行四边形，且，所以是菱形，.因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取的中点，连接，因为是菱形，所以是正三角形，所以，且.令，则.所以以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的一个法向量为，则，所以，得，令，则，所以.由（1）知平面，所以是平面的一个法向量，所以.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题19.已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，且 （1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，记，的面积分别为，证明：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设直线l的方程为xmy+1，与抛物线C的方程联立消去x得关于y的方程，利用根与系数的关系表示，从而求得p的值；（2）由题意求出弦长|AB|以及原点到直线l的距离，计算OAB的面积S1，同理求出OPQ的面积S2，再求的值【详解】（1）设直线：，与联立消得，.设，则，.因为，所以，解得.所以抛物线的方程为.（2）由（1）知是抛物线的焦点，所以.原点到直线的距离，所以.因为直线过点且，所以.所以.即为定值.【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题20.2020年1月4日，据“央视财经”微信公众号消息，点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式，外卖员也成为了一种职业.为调查某外卖平台外卖员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计得如下频率分布直方图：将上述调查所得到的频率视为概率.（1）求的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离；（2）若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元.（i）记为外卖员送一份外卖的收入（单位：元），求的分布列和数学期望；（ii）若外卖员一天的收入不低于150元，试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐距离至少为多少千米？【答案】（1），2.7千米；（2）（i）详见解析；（ii）81千米.【解析】【分析】（1）由频数分布表及频率之和为1可求a；（2）结合频率分布表、直方图计算（i）外卖员送一份外卖的收入（单位：元）X的所有可能取值为3，5，9；计算期望，（ii）若外卖员一天的收入不低于150元，可进行估算，因为150530，则估计外卖员一天至少要送30份外卖可计算【详解】（1）因为，解得.点外卖用户的平均送餐距离为千米.（2）（i）由题意知所有可能取值为3，5，9.；.所有的分布列为3590.300.550.15的数学期望为（元）.（ii）因为，则估计外卖员一天至少要送30份外卖，所以该外卖员一天的送餐距离至少为千米.【点睛】本题考查由频率分布表、直方图进行计算，估算，考查频数、频率，考查频率公式，期望公式的应用，属于中档题21.已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求函数的单调区间；（2）求证：时，.【答案】（1）的单调增区间为，无减区间（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x1时的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）构造新函数h（x）exx2（e2）x1，证明ex（e2）x1x2；令新函数（x）lnxx，证明x（lnx+1）x2，从而证明结论成立【详解】（1）由，得.因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，即，.令，则.所以时，单调递减；时，单调递增.所以，所以，单调递增.即的单调增区间为，无减区间（2）由（1）知，所以在处的切线为，即.令，则，且，时，单调递减；时，单调递增.因为，所以，因为，所以存在，使时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.又，所以时，即，所以.令，则.所以时，单调递增；时，单调递减，所以，即，因为，所以，所以时，即时，.【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查构造新函数求最值证明不等式，是难题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题