江西省新余市2020届高三数学第二次模拟考试试题 文（含解析）

江西省新余市2020届高三数学第二次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合补集及交集的定义即可求解。【详解】由题可得 ，所以，故答案选B。【点睛】本题主要考查集合间的运算，属于基础题。2.在复平面内，复数对应点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限故选D【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题3.已知，则（ ）A. 2B. C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的定义即可得到关于的方程，解方程即可得到答案。【详解】 ，又，即，解得，故答案选A。【点睛】本题主要考查向量坐标的表示，向量垂直的关系以及向量模的公式，属于基础题。4.执行如图所示的程序框图，若输入a的值为，则输出的S的值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得a1，S0，k1满足条件k5，执行循环体，S1，a1，k2满足条件k5，执行循环体，S，a3，k3满足条件k5，执行循环体，S，a5，k4满足条件k5，执行循环体，S，a7，k5此时，不满足条件k5，退出循环，输出S的值为故选：C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5.如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】C【解析】【分析】计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比，即可求出黑色部分的面积.【详解】因为边长为4的正方形二维码面积为，设图中黑色部分的面积为，则，所以.故选C点睛】本题主要考查模拟方法估计概率，熟记模拟估计方法即可，属于基础题型.6.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数单调性，进行大小比较，从而得出相应答案。【详解】根据指数函数的单调性可得：，即， ，即，由于，根据对数函数的单调性可得：，即，所以，故答案选B。【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小。7.过双曲线的右焦点且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，要使过双曲线的右焦点且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则该直线应与双曲线的一条渐进线平行，由此能求出双曲线的离心率。【详解】过双曲线的右焦点且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐进线平行，由，故答案选D。【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时注意双曲线的简单性质的合理运用，属于中档题。8.若.则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系可得，再利用诱导公式及同角三角函数的平方关系化简，求值即可。【详解】，即，又，故答案选A。【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用以及诱导公式的应用，考查学生的转化思想与运算能力，属于中档题。9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算该几何体的底面积，结合体积计算公式，即可。【详解】结合题意，绘制图像，如图所示平面DEF的面积为，故该几何体的体积，故选B。【点睛】考查了三视图还原直观图，关键绘制出该几何体的图形，结合体积计算公式，即可，难度中等。10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象关于函数，下列说法正确的是( )A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】化简f（x）=2sin（x），由三角函数图象的平移得：g（x）2sin2x，由三角函数图象的性质得yg（x）的单调性，对称性，再由x时，求得函数g（x）值域得解.【详解】f（x）sinxcosx2sin（x），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T，即2，即f（x）2sin（2x），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）2sin2（x）2sin2x，当2x,即x, yg（x）是减函数，故yg（x）在，为减函数，当2x=即x（kZ）,yg（x）其图象关于直线x（kZ）对称,且为奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x，函数g（x）的值域为，2，故选项D正确，故选：D【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题11.已知定义在上的奇函数满足：，且，若函数有且只有唯一的零点，则（ ）A. 1B. -1C. -3D. 3【答案】C【解析】【分析】由结合为奇函数可得为周期为4的周期函数，则，要使函数有且只有唯一的零点，即只有唯一解，结合图像可得，即可得到答案。【详解】为定义在上的奇函数，又，在上为周期函数，周期为4，函数有且只有唯一的零点，即只有唯一解，令 ，则，所以为函数减区间，为函数增区间，令，则为余弦函数，由此可得函数与函数的大致图像如下：由图分析要使函数与函数只有唯一交点，则，解得 ，故答案选C。【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题。12.已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A. 4B. 5C. D. 6【答案】D【解析】分析：设抛物线与的准线为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别过点作，垂足为，过点作交于点，则，在中，由，可得，由于，可得即可得到，当直线的倾斜角为钝角时，同理可得.详解：设抛物线与的准线为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别过点作，垂足为，过点作交于点，则，在中，由，可得，轴，直线方程， 由可得点的坐标：, ，代入抛物线的方程化简可得：，该抛物线的焦点到准线的距离为，故选D.点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.抛物线中与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.二、填空题（本大属共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）13.已知实数，满足约束条件，求目标函数的最小值_.【答案】-1【解析】【分析】首先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各交点的坐标，即可求出目标函数的最小值。【详解】由实数，满足约束条件可得如图可行域：得到可行域为，点， ，由图可得目标函数过可行域内的点时的值最小，所以目标函数的最小值为-1。【点睛】本题主要考查线性规划问题，借助于平面区域特征，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想，属于基础题。14.若曲线在点处的切线与圆相切，则_.【答案】【解析】【分析】求出曲线在点处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可得到关于的方程，解方程即可得到答案。【详解】由可得，曲线在点处的切线方程的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即，又切线与圆相切，圆心到切线的距离等于圆半径：，即 ，解得： 故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，导数的几何意义：函数在某点的导数为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线与圆相切的几何关系，属于基础题型。15.的内角的对边分别为，已知，则面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据边角关系式求得，利用余弦定理得到，再利用基本不等式得到，由此可求得面积的最大值.【详解】 由余弦定理可知： 当且仅当时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形中边角关系式的化简、三角形面积最值问题.解决此类面积最值问题的关键是通过余弦定理构造等量关系，利用基本不等式求得所需的最值.16.在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】画出图形，经过分析可得三棱锥的外接球的球心在的外接圆圆心的位置，利用正弦定理即可求出外接球的半径，最后求出表面积。【详解】如图所示： ，则，又， ，则，为直角三角形，外接圆的圆心在边的中点上，设外接圆的圆心为，所以三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，设外接球半径为，连接 、，为直角三角形，为边的中点，又在中，为边的中点， ，即，则 为直角三角形， ，又 ，则平面 ，又 平面，平面平面，又三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，球心在的连线上，又，则点在的外接圆圆心的位置，又，则，由正弦定理可得： ，解得：，三棱锥的外接球的表面积为： ，故答案为：【点睛】解决几何体的外接球问题时，关键在于如何确定外接球球心的位置和半径，其中球心在过底面多边形的外接圆圆心且与底面垂直的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等，利用正余弦定理或是勾股定理求解可得球的半径，本题属于中档题。三、解答愿（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意，根据等差数列的求和公式和等比中项公式，列出方程组，求得的值，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得，进而得到，利用裂项法，即可求解.【详解】（1）由，成等比数列，得，即 ，又，解得，所以.（2），.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项和前n项和公式的应用，以及裂项法求和，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错项数导致错解，试题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.18.为推进“千村百镇计划”，某新能源公司开展“电动新余绿色出行”活动，首批投放200台型新能源车到新余多个村镇，供当地村民免费试用三个月.试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）.最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求40个样本数据的中位数；（2）已知40个样本数据平均数，记与的较大值为.该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”. 请根据40个样本数据，完成下面列联表：认定类型性别满意型需改进型合计女性20男性20合计40并根据列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？ 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访.根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取2人进行二次试用，求这2人中至少有一位女性的概率是多少？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）81；（2）详见解析；.【解析】【分析】（1）根据中位数的定义即可求解；（2）根据题目对满意型与需改进型的定义填写列联表，并计算出的值代入表格进行比较即可判定是否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关；通过分层抽样原理计算出抽出的男女人数，利用列举法计算出基本事件数，求出对应的概率值。【详解】解：（1）由茎叶图知中位数，（2）因为，所以.由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，根据题意得列联表：认定类型性别满意型需改进型合计女性15520男性51520合计202040可得：，所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关.由知从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，抽出女性2名，男性6名.记抽出的2名女性为；，；记抽出的6名男性为：，从这8人中随机抽取2人进行二次试用的情况有：，共有28种：其中2人中至少一名女性的情况有：，共有13种： 所以2人中至少一名女性的概率是：【点睛】本题主要考查茎叶图中中位数的求法，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题。19.如图，在三棱锥中，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.（1）求证：平面平面PAC.（2）求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由PAAC可计算出PC，从而由勾股定理逆定理得PBBC，再结合BCAB，得BC平面PAB，从而有PABC，于是有PA平面ABC，因此PABD，再计算出AB=BC，从而BDAC，因此得BD平面PAC，从而得证面面垂直；（2）这个体积直接用底面积乘以高再除以3，不太容易，但可间接计算：，这一个三棱锥和一个四棱锥的体积易计算详解：（1）证明：在三棱锥中，, , 又 又 （2）由已知，点睛：常用求体积的几种方法：（1）分割法一般的考试题目不会给你一个简单的长方体，正方体，圆等等一些能套公式就能求出体积，而是弄一些多面体，让你求它的体积。分割法，就是把多面体分割成几个我们常见的立体，然后求各个分割体的体积，最后相加就能得出所要求的体积了。（2）补形法多面体加以拼补，把它拼成我们常见的立体，求出该立体的体积后，把补上去的各个立体的体积算出来，相减就能得出所要求的体积了。（3）等体积法这个方法举例比较好说明，比如，求四面体P-ABC的体积，但是顶点P到面ABC的距离不好求（即高h），然而我们把顶点和底面换一下，换成四面体A-PBC，此时，顶点A到面PBC的距离可以很容易就得到(AP面PBC,即AP就是高)，这样四面体A-PBC的体积就很容易就求出来了。显然，四面体P-ABC和四面体A-PBC是同一个立体，因此，求出四面体A-PBC的体积也就是求出四面体P-ABC的体积。20.在平面直角坐标系，已知椭圆的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程：（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在一条定直线使得点恒在直线上.【解析】【分析】（1）首先求出焦点，由椭圆的定义及性质列出， 的方程即可求出椭圆的标准方程；（2）令，求出点，点，点的坐标，可得满足题意的定直线为，接下来只要证明点恒在该直线即可，设出点，点的坐标，由于垂直于轴，可得点纵坐标，从而只要证明在直线上，利用根与系数关系、斜率计算公式只要证明问题即可解决。【详解】解：（1）由题意知，解得；从而，所以椭圆的标准方程为：.（2）令，则，或者，.当，时，：当，时，所以，满足题意的定直线只能是.下面证明点恒在直线上.设，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上.由得， ，. ，即.点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点，所以存在一条定直线使得点恒在直线上.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程可得到根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题。21.已知函数（）求函数的单调区间；（）若函数存在两个极值点，并且恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）当时，函数在单调递增；当时，时，单调递增；当时，单调递减（2）。【解析】【分析】（）函数的定义域为，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（）由题意，求得，又由函数存在两个极值点，转化为，进而转化为恒成立，令， ，令导数求得的单调性与最值，即可求解.【详解】（）函数的定义域为， 当时，函数在单调递增；当时，方程的两根，且，则当时，单调递增；当，单调递减 综上：当时，函数在单调递增；当时，时，单调递增；