湖南省洞口县第一中学2020届高三寒假数学辅导 第6讲 空间向量与立体几何复习及单元检测卷 湘教版

第六讲 空间向量与立体几何复习在引入空间向量后，许多空间问题（如空间角、空间距离等）的求解，已经从传统的“作证算”转化为，将所求问题表示为向量的闭回路（课本称为“封口向量”），然后利用数量积求解，即已从传统意义上的几何方法转向以空间向量为媒介的代数运算特别是法向量的应用，更是大大拓展了求解空间问题的思路！一. 空间向量的概念及其线性运算空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等1.在空间，既有大小又有方向的量称为向量,可以用有向线段；用或表示2.空间向量的加法法则：三角形法则（首尾相接由起到终）且可以推广到任意多边形；平行四边形法则（只适用于两个不共线的向量）3.空间向量的减法法则：三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）4.空间向量的数乘：是一个向量。其长度；方向为当时，与同向，当时，与反向，当或时，5.空间向量的加法和数乘运算律交换律：；结合律：；分配律：注：因为空间任意两个向量一定共面，所以其线性运算的定义以及运算律与平面向量一样二.空间向量的共线1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量规定：与任一向量共线 （故“”是错误的）2.共线向量定理：对空间任意两个向量, ,与共线的充要条件是存在实数,使 (向量形式) 3. 与共线的单位向量三.共面向量定理1.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得2.空间四点共面定理：设空间任意一点和不共线三点，点满足，四点共面的充要条件是三.空间向量的坐标表示1.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在惟一的有序实数组，使。注：称为空间的一个基底，叫作基向量如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底；当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示2.推论：设是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在惟一的有序实数组，使得。3.在空间直角坐标系中，分别取与轴同向的单位向量为基向量，则对空间任一向量，存在惟一的有序实数组，使，有序实数组叫做向量在空间直角坐标系中的坐标，记作4.向量的坐标运算：已知, ,则，注：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标5.向量平行的坐标表示： 6.若ABC的重心为G（G分中线2：1），O为平面内任意一点，则；若已知A, B，C，则重心G的坐标为OAB四空间向量的数量积1.若是非零向量，则其中是的夹角,其范围是规定：特别地 ；注：是锐角且与不共线；是直角，即是钝角且与不共线；2.设空间两个非零向量为, ,则 特别地 3.向量在向量方向的投影是 4.向量数量积的运算律 ：注：一般情况下数量积不满足结合律即5.向量数量积的性质：（e为单位向量）；五. 直线的方向向量与平面的法向量1.直线的方向向量：直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量2.平面的法向量：若干表示非零向量的有向线段所在的直线垂直于平面，那么称向量为平面的法向量六、空间向量的直角坐标运算1空间直角坐标系若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用表示；在空间选定一点O和一个单位正交基底，可建立一个空间直角坐标系，作空间直角坐标系时，一般使xOy=135（或45），yOz=90；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）2空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系Oxyz和向量a，存在惟一的有序实数组使，则叫作向量a在空间的坐标，记作对空间任一点A，存在惟一的，点的坐标，记作分别叫的横坐标、纵坐标、竖坐标3空间向量的直角坐标运算律（1）若，则，（2）若，则即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 七空间向量的应用（一）证“平行与垂直”1.证“线线平行或垂直”设空间两条直线的方向向量是，则2.证“线面平行或垂直”设空间直线的方向向量是，平面的法向量是，则平行法一：；法二：在平面找不共线的向量，使可以由可以线性表示，则有垂直法一：法二：在平面找不共线的向量，证得，则有3. 证“面面平行或垂直”设空间两个平面的法向量是，则平行法一：法二：线面平行（见2）面面平行垂直法一：法二：线面垂直（见2）面面垂直（二）空间的角的计算1.空间两条异面直线所成的角（1）定义：与是异面直线,经过空间任意一点,作直线,则与所成的锐角(或直角) 叫做异面直线所成的角。（2）两条异面直线所成角的范围是（3）设空间两条异面直线的方向向量是，则夹角与相等或互补（4）求所成的角的一般步骤：求；利用2. 空间直线与平面所成的角（1）斜线与平面所成的角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这个直线与这个平面所成的角.如：右图中是斜线与平面所成的角注：若一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；若一条直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是的角是直线与平面内经过点的直线所成的角中最小的角（2）直线与平面所成角的范围是（3）设空间直线的方向向量是，平面的法向量是，则夹角（4）求直线与平面所成的角的一般步骤：求；利用3.二面角的大小（1）二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。它的范围是（3）设平面的法向量分别是，则夹角与相等或互补（4）二面角的大小的一般步骤：求；由图形判断是锐二面角还是钝二面角，若是锐二面角则；若是钝二面角则（5）斜线与平面所成角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）与最小角定理联系密切的一个重要公式是，要注意其应用！（三）.空间距离主要有：点面距：设n是平面的法向量，则B到的距离为；对于不容易作出的空间距离（如线线距、点面距等）、空间角（如线线角、无棱二面角等），利用法向量求解和传统方法相比具有明显的优势如证明直线和平面垂直的判定定理（本文例1），传统方法是构造并多次利用平面几何中的三角形全等，技巧性大、思想方法灵活（多次转化），虽然典型但许多同学难以理解和熟练掌握，更不便于表述，而用向量法证明的篇幅大大缩短，容易理解记忆，方法简捷！再如，证明垂直于同一个平面的两条直线平行（本文例2），使用空间向量则简单明了，易于掌握第六讲 空间向量与立体几何单元检测题湖南省洞口县第一中学 肖丹枫一选择题1已知向量a（1，1，0），b（1，0，2），且ab与2 ab互相垂直，则的值是（ ）A 1 B C D 2已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）ABC D3已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 （ ）A2 B3 C4 D54在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为（ ）A 0 B1 C 2 D35已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于（ ） A B C D 6直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 则 （ ）A B C D 7在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、是 （ ）A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量8已知点A（4，1，3），B（2，5，1），C为线段AB上一点，且,则点的坐标是 ( ) A B C D 二填空题9已知 .10已知向量a（0，2，1），b（1，1，2），则a与b的夹角为 .11已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若ab,则与的值分别是 12已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m，n的夹角为 13已知向量a和c不共线，向量b0，且，dac，则 14已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则点B到平面EFG的距离为 。15（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。三解答题16如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系 （1）写出A、B1、E、D1的坐标； （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值 17在正方体中，如图、分别是，的中点，（1）求证：平面ADE；（2）cos 18如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明 平面； （2）证明平面EFD19如图，四边形ABCD是直角梯形，ABCBAD90，SA平面ABCD， SAABBC1，AD（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦 参考答案一选择题题号12345678答案DDBAADCC二填空题9、15 10、9011 、12 6013 9014、15、三解答题（本大题6小题，共74分）16 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) (0, -2, 2)，(0, 1, 2) |2，|，0242, cos ， AB1与ED1所成的角的余弦值为17 解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，0）， 则（0，1），（1，0，0），