湖北省钟祥市2020届高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）

湖北省钟祥市2020届高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以的实部与虚部之积为；故选B.2.已知集合M=x|-3x1，N=x|x3，则集合x|x-3或x1=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题，先求出MN和MN，再求得M（MN)和M（MN)可得答案.【详解】因为集合M=x|-3x1，N=x|x3，所以MN=x|-3x1， MN=x|x3， 则M（MN）=x|x-3或x1， M（MN）=x|x3， 故选：C【点睛】本题考查了集合的交并补混合运算，属于基础题.3.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，699，700从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）A. 623B. 328C. 253D. 007【答案】A【解析】【分析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，求得前6个编号，由此得到结果.【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的前6个编号分别是：253，313，457，007，328，623， 则得到的第6个样本编号是623 故选：A【点睛】本题考查了随机数表的知识，明确随机数表的含义是关键，在读取数据的过程中，需要把超出范围的数据和重复的数据都去掉，属于基础题.4.在等差数列中，且,则使的前项和成立的中最大的自然数为( )A. 11B. 10C. 19D. 20【答案】C【解析】为等差数列，又，即，由，故可得使的前项和成立的中最大的自然数为19，故选C.5.已知函数，则的图象在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题求出f（x）的导函数，可得出在点（0，f（0）的斜率，再根据切线公式可得结果.【详解】f（x）= ，f（x）=，f（0）=-1，f（0）=1，即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为-1，图象在点（0，f（0）处的切线方程为y=-x+1，即x+y-1=0故选：B【点睛】本题考查了曲线的切线方程，求导和熟悉公式是解题的关键，属于基础题.6.某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布N（105，102），已知P（95105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由题，先根据正态分布的公式求得分数在115以上的概率，即可求得人数.【详解】考试的成绩服从正态分布N（105，102）考试的成绩关于=105对称，P（95105）=0.32，P（115）=（1-0.64）=0.18，该班数学成绩在115分以上的人数为0.1850=9故选：B【点睛】本题考查了正态分布，熟悉正态分布的性质是解题的关键，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体的直观图，根据公式运算，即可求解。【详解】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，所以其表面积为，故选B。【点睛】本题考查三视图，及组合体的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的三视图得到几何体的直观图，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查空间想象能力与运算求解能力.8.点到抛物线准线的距离为1，则的值为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】因为抛物线的标准方程为，若，则准线方程为，由题设可得，则，不合题意，舍去；若，则准线方程为，由题设可得，解之得或，应选答案C。9.在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设，则，区域表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使为两段分离的曲线，则，故选A.考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.10.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则.，所求的概率为故选A.11.设分别是双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，则由余弦定理可得，-（1） ，即，以上两式可得，即，-（2）又由双曲线的定义可得，即-（3）由（1）（3）可得代入（2）可得，即，故离心率，应选答案D。点睛：解答本题的关键是构建关于参数的方程。求解时先运用余弦定理建立三个方程：，通过消元得到，进而求得双曲线的离心率，使得问题巧妙获解。12.已知定义在上的奇函数满足当时，则关于的函数，（）的所有零点之和为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作函数与图象，从而可得函数有5个零点，设5个零点分别为，从而结合图象解得【详解】解：作函数与的图象如下，结合图象可知，函数与的图象共有5个交点，故函数有5个零点，设5个零点分别为，故，即，故，故选：B【点睛】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于常考题型.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数满足，则最大值是_【答案】【解析】由约束条件可作如图所示的可行域，两直线的交点,则当过原点的直线过点时，斜率最大，即的最大值为.14.对于实数x，x表示不超过x的最大整数，已知正数列an满足Sn=（an），nN*，其中Sn为数列an的前n项的和，则=_【答案】20【解析】【分析】先由数列的关系求出，再利用放缩法和裂项相消求得前n项和S的值，可得答案.【详解】由题可知，当时，化简可得，当所以数列是以首项和公差都是1的等差数列，即又时， 记 一方面 另一方面 所以 即 故答案为20【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点，构造新的等差数列以及用放缩法求数列的和是解答本题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于难题.15.现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张不同取法的种数为 【答案】【解析】试题分析：用间接方法，符合条件的取法的种数为：.考点：排列与组合16.如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EFAD于点F，将DEF沿EF折起到PEF的位置，并使PFAF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为_【答案】（0，）【解析】【分析】先由题易证PF平面ABCEF，设，然后利用体积公式求得五棱锥的体积，再利用导函数的应用求得范围.【详解】因为PFAF，PFEF，且AF交EF与点F，所以PF平面ABCEF设,则 所以五棱锥的体积为 或（舍）当递增，故 所以的取值范围是（0，）故答案为（0，）【点睛】本题考查了立体几何的体积求法以及利用导函数求范围的应用，属于小综合题，属于较难题.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在中，点在线段上() 若，求的长；（） 若，的面积为，求的值【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（）首先利用同角三角函数间的基本关系求得的值，然后利用正弦定理即可求得的长；（）首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值试题解析：（I）在三角形中，2分在中，由正弦定理得，又，5分（II），又，7分，9分在中，由余弦定理得，12分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系18.如图，在五棱锥P-ABCDE中，ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且DEB=CBE=90，G是CD中点，点P在底面的射影落在线段AG上（）求证：平面PBE平面APG；（）已知AB=2，BC=，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45，SPBE=，点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值【答案】（I）见解析； （II）.【解析】【分析】（）由题易证BEPO，BEAG，可得BE平面PAG，既而证得平面PBE平面APG；（II）建立空间直角坐标系，分别求出平面MAB和平面ABD的法向量，再根据二面角的公式求得二面角M-AB-D的余弦值即可.【详解】（）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P作POAG于O，则PO底面ABCDEBE平面ABCDE，BEPO，ABE等边三角形，BEAGAGPO=O，BE平面PAG，BE平面PBE，平面PBE平面APG（II）连接PF，又PAF=45，PFAF，PFAF，PF底面ABCDE O点与F点重合如图，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系底面ABCDE的一个法向量，设平面ABM的法向量，取则， 二面角法向量分别指向二面角的内外，即为二面角的平面角，cos=二面角M-AB-D的余弦值为）【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理和利用空间向量求二面角的方法，熟悉平面垂直的判断方法和建系求法向量是解题的关键，属于较为基础题.19.已知圆O；x2+y2=4，F1（-1，0），F2（1，0），点D圆O上一动点，2=，点C在直线EF1上，且=0，记点C的轨迹为曲线W（1）求曲线W的方程；（2）已知N（4，0），过点N作直线l与曲线W交于A，B不同两点，线段AB的中垂线为l，线段AB的中点为Q点，记P与y轴的交点为M，求|MQ|的取值范围【答案】（1）； （2）0，5）.【解析】【分析】（1）由题，易知点D是的中点，可得CE=CF2即CF1+CF2=4为定值，可得C的轨迹为以（-1，0），（1，0）为焦点的椭圆；（2）由题，设直线l的方程，联立椭圆，求得点N的坐标（注意考虑判别式），再得出l的直线方程，再求得点M的坐标，即可求得MQ的长度，求出其范围即可.【详解】（1）圆O：x2+y2=4，圆心为（0，0），半径r=4，F1（-1，0），F2（1，0），点D是圆O上一动点，由2=，可得D为EF2的中点，点C在直线EF1上，且=0，可得CDEF2，连接CF2，可得CE=CF2，且CF1+CF2=CF1+CE=EF1=2OD=4，由椭圆的定义可得，C的轨迹为以（-1，0），（1，0）为焦点的椭圆，可得c=1，a=2，b=，则曲线W的方程为；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设l：y=k（x-4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），联立直线与椭圆方程3x2+4y2=12，消去y得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，x1+x2=，x1x2=，又=（-32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）0，解得-k，x0=，y0=k（x0-4）=-，Q（，-），l：y-y0=-（x-x0），即y+=-（x-），化简得y=-x+，令x=0，得m=，即M（0，），|MQ|=（）2+（）2=256，令t=3+4k2，则t3，4），|MQ|=256=16=16-3（）2-+1=16-3（）2+|MQ|0，5）【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，轨迹方程的求法，以及范围的求法，熟悉直线与圆锥曲线相交的解题步骤是解题的关键，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.20.为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标)、推理能力(指标)、建模能力(指标)的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：学生编号(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为，求随机变量的分布列及其数学期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据条件，列出各项指标的表格，根据条件概率列出各种情况，由古典概率求解。（2）根据（1），列出X的分布列，根据数学期望的公式求得数学期望。【详解】x2331222222y2232332312z3332232312w7895786846（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: ，非一级的学生为余下4人 的所有可能取值为0,1，2，3. 随机变量的分布列为：0123 【点睛】本题考查了条件概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求解，根据题意列出表格是关键，属于基础题。21.已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=-bx，其中a，bR，设h（x）=f（x）-g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f（1）=g（-1）-2求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2求b的取值范围；求证：1【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）（，0）详见解析【解析】试题分析：（1）先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a= -2,b=1 .再根据导函数求单调区间（2）当时，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明试题解析：（1）因为，所以,由可得a=b-3.又因为在处取得极值，所以，所以a= -2,b=1 . 所以，其定义域为（0，+）令得，当（0,1）时，当（1,+），所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）当时，其定义域为（0，+）.由得，记，则,所以在单调减，在单调增，所以当时取得最小值.又，所以时，而时,所以b的取值范围是（，0）.由题意得,所以,所以，不妨设x1x2,要证, 只需要证.即证，设,则,所以,所以函数在（1，+）上单调增，而，所以即,所以.考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式22.在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为为参数)，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求直线和圆的极坐标方程；(2)设直线与圆相交于两点，求的值【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）先求出直线的普通方程，再根据得到相应的极坐标方程（2