湖南省长沙市一中2020届高三数学第五次月考（理）新人教版

长沙市一中2020届高三第五次月考试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1“x + y 2”是“x 1且y 1”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若实数x，y满足则S = 2x+y的最大值为（ ）A7B4C3D20.010.020.0480 90 100 110 120 130 周长（cm）3为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示那么在100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是（ ）A30B60C70D804若展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ）A8B9C10D125如图，平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为60,OA与OC、OB与OC的夹角都为30,且OA=OB=1, OC=,若OC=OA+OB,则的值为（ ） A.2 B. C. D.46某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的全运会宣传广告，要求最后播放的必须是全运会宣传广告，且2个全运会广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）A120种B48种C36种D18种7已知y = f (x)是定义在(2，2)上的偶函数，且f (x)在0，2)上是增函数，若f (m2) f(m + 1)0且a1，若函数f (x) = loga(ax2 x)在3，4是增函数，则a的取值范围是（ ）A（1，+）BCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分9为调查学生课余学习负担情况，学校分别从高一、高二、高三用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知高一、高二、高三人数分别为1000人、1250分、1350人，现需抽取72人，则每个年级应分别抽取的人数依次为 10在腰长为2的等腰直角三角形ABC内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于的概率为 11根据卫生部统计结果，全国范围内十一月上旬连续十天每天确诊甲流人数如下面的茎叶图所示，则这十天每天确诊甲流人数的平均值为 12已知x,y,z均为实数，2x + y +z = 12，则x2 + y2 + z2 的最小值为 13已知函数若对任意都有则=_14已知函数f (x) = f (2 x) + x + 3，则f (1) = 15由1,2,3,4, n为第一行，从第二行开始每行的每个数都等于其肩上两个数之和构成如图所示的三角形数表设f (i，j)( i，j =1,2,3, n且i + jn + 1, nN+)表示第i行的第j个数 （1）当jn 3时，f (4, j)用j表示为 ； （2）当n = 100时，M = 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知ABC的三个内角分别为A、B、C，向量m = (sinB, 1 cosB)与向量n = (2，0)夹角的余弦值为（1）求角B的大小；（2）求sinA + sinC的取值范围17（本小题满分12分）连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1 + a2 +ak = 6，则称k为你的幸运数字（1）求你的幸运数字为4的概率；（2）若k = 1，则你的得分为6分；若k = 2，则你的得分为4分；若 k = 3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分求得分的分布列和数学期望18（本小题满分12分）（1）解关于x的不等式：(x 1)2a(x 2) + 1(aR) （2）命题p：使不等式成立； 命题q：恒成立已知p或q为真，求实数a的取值范围19（本小题满分13分）已知数列an，定义（nN+）是数列an的倒均数（1）若数列an的倒均数是，求数列an的通项公式；（2）若等比数列bn的首项为1，公比为q =，其倒均数为Vn，问是否存在正整数m，使得当nm(nN+)时，Vnx20时，试比较f (x1 x2)与g (x1 x2)及g (x1) g (x2)三者的大小；并说明理由参考答案题 号12345678答 案BACCDCBA9. 20人，25人，27人； 10. ； 11. 825； 12. 24； 13. 0； 14. 16（本小题满分12分）【解析】（1）m = 3分由题知，故B =6分（2）sinA + sinC = sinA + sin()= 10分A +sin(A +)12分sinA + sinC的取值范围是17（本小题满分12分）【解析】（1）设“连续抛掷k次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1、A2，其中A1：四次中恰好两次为1，两次为2；A2：四次中恰好一次为3，三次为1A1，A2为互斥事件，则k = 4的概率P(A) = P(A1) + P(A2) =6分（2）P(=6) =7分P(=4) =8分P(=2) =9分P(=0) =10分的分布列分6420P=6+4+2+0=12分18（本小题满分12分）【解析】（1）由(x 1)2a(x 2) + 1得x2 (2 + a)x + 2a 0即(x 2)(x a) 0（3分）当a 2时，原不等式的解集为；（4分）当a = 2时，原不等式的解集为；（5分）当a1；（8分）由x2 + ax + 40得a x a 4（10分）由p或q为真可知a的取值范围是(4，+) （12分）19（本小题满分13分）【解析】（1）由得 1分当n = 1时，a1 = 12分当n2时， 得，即，6分（2）bn =,8分令Vn16得即n，当n = 6时，26 167 + 1下面证当n7(nN+)时，成立10分1当n = 7时，已证；2假设当n = k时，2k16k + 1成立，当n = k + 1时，=16k + 16k + 2 16k + 16 +1 = 16(k + 1) + 1这就是说，当n = k + 1时，结论也成立由1，2可知，当n7时，2n16n + 1成立故m的最小值为m = 7此题也可用导数法证对成立13分20（本小题满分13分）【解析】（1）y =6分（2）当时，y当且仅当，即x =时取等号即当x =时，；9分当时，故y = f (x)在(0，20上是减函数，故当x = 20时，=153 + 180a12分答：若，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；若时，则当车队速度为m/s时，通过隧道所用时间最少13分21（本小题满分13分）【解析】（1）当x0时，f (x) = ex 1在(0，+)单调递增，且f (x)0；当x0时，若m = 0，f (x) = x20, f (x) =在(，0上单调递增，且f (x) =又f (0) = 0，f (x)在R上是增函数，无极植；若m0，则f (x) =在(，0)单调递增，同可知f (x)在R上也是增函数，无极值；4分若m0，f (x)在(，2m上单调递增，在(2m，0)单调递减，又f (x)在(0, +)上递增，故f (x)有极小值f (0) = 0，f (x)有极大值 6分（2）当x 0时，先比较ex 1与ln(x + 1)的大小，设h(x) = ex 1ln(x + 1) (x 0)h(x) =恒成立h(x)在(0，+)是增函数，h(x)h (0) = 0ex 1ln(x + 1) 0即ex 1ln(x