福建省光泽县第二中学高考数学 第一章 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教学设计 新人教A版必修4

福建省光泽县第二中学高中数学必修4第一章教学设计：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 教学重点、难点、疑点重点：会求函数y=Asin()，xR及函数y=Acos ()，xR的周期；难点：周期定义的理解；疑点：周期性是整个定义域内的函数的一个性质 教学过程（一）新课引入自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等，数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sin,cos的值也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种周而复始的变化规律，今天我们来学习一个新的数学概念函数的周期性（二）新课1、周期函数的定义引导学生观察下列图表及正弦曲线x-2-02sinx010-1010-10 y=sinx,xR y- - - - x-4 -3 -2 - -1 2 3 4正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现联想诱导公式sin(x+2k)=sinx(kZ)若令f(x)=sinx，则f(x+2k)=f(x)，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期如2，4及-2，-4都是正弦函数的周期注：周期函数定义中，一是T是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立师：请同学们思考下列问题：1）对于函数y=sinx，xR有sin(+)=sin能否说是正弦函数y=sinx的周期生：不能说是正弦函数y=sinx的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的第一个值都使等式sin(x+)=sinx成立，所以不合周期函数的定义2）f(x)=x2是周期函数吗？为什么？生：若是周期函数，则有非零常数T，使f(x+T)=f(x)，即(x+T)2=x2，化简，得T(2x+T)，T=0（不非零），或T=-2x，（不是常数），故满足非零常数T不存在，因而f(x)不是周期函数思考题：若T为f(x)的周期，则对于非零整数k，kT也是f(x)的周期2、最小正周期的定义师：我们知道，-4，-2，2，4都是正弦函数的周期，可以证明2k (k0且kZ) 是f(x)=sinx的周期，其中2是f(x)=sinx的最小正周期一般地，对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期今后若涉及到的周期，如果不另特别说明，一般都是指函数的最小正周期依据定义，y=sinx和y=cosx的最小正周期为23、例题：例1 求下例函数的周期：1）y=3cosx ,xR；2）y=sin2x, xR；3）y=2sin(x-),xR分析：由周期函数的定义，即找非零常数T，使f(x+T)=f(x)解：（1）因为余弦函数的周期是2，所以自变量x只要并且至少要增加到x+2，余弦函数的值才能重复取得，函数y=3cosx, xR的值也能重复取得，从而函数y=3cosx，xR的周期是2即f(x)=3cosx=3cos(x+2)=f(x+2)，T=2(2)令z=2x，那么xR必须并且只需zR，且函数y=sinz，zR的周期是2，就是说，z变量只要并且至少要增加到z+2函数y=sinz，zR的值才能重复取得，而z+2=2x+2=2(x+)所以自变量x只要并且至少要增加到x+，函数值就能重复取得，从而函数y=sin2x，xR的周期是即f(x)=sin2x=sin(2x+2)=sin2(x+)=f(x+)T= (3)令z=x-，那么xR必须并且只需zR，且函数y=2sinz，zR的周期是2，由于z+2=(x-)+2=(x+4)-，所以自变量x只要并且至少要增加到x+4，函数值才能重复取得，即T=4是能使等式2sin(x+T)- =2sin(x-)成立的最小正数， 从而函数y=2sin(x-)，xR的周期是4而f(x)=2sin(x-)=2sin(x-+2)=2sin(x+4)-=f(x+4)，T=4师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关，其规律如何？你能否求出函数y=Asin()，xR及函数y=Acos ()，xR（其中A，为常数，且A0，0）的周期？生：f(x)=Asin()=Asin(+2)=Asin(x+)+=f(x+) T=同理可求得y=Acos()的周期T=例2 求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为；（2）y=sin4x+cos4x的周期为；（3）y=|sinx|+|cosx|的周期为分析：依据周期函数定义f(x+T)=f(T)证明证明：（1）f(x+)=cos2(x+)+sin2(x+)=cos(2x+2)+sin(2x+2)=cos2x+sin2x=f(x)f(x)的周期为（2）f(x+)=sin4(x+)+cos4(x+)=cos4x+sin4=f(x)f(x)的周期为（3）f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|sinx|=f(x)f(x)的周期为例3先化简，再求函数的周期证明函数的一个周期为，并求函数的值域；例4求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)解：1 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)=f (z)f (x+2)p+ =f (x+) 周期T=2p2令z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos2(x+p)即：f (x+p)=f (x) T=p 3令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) T=4p 小结：形如y=Asin(x+) (A,为常数,A0, xR) 周期T= y=Acos(x+)也可同法求之4、小结：（1）周期函数定义及最小正周期的定义（1）函数y=Asin()，xR及函数y=Acos ()，xR的周期都为T=课堂练习：P40 2、3，课后作业：P52 3同步练习：求下列函数的周期： 1。y=sin(2x+)+2cos(