湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2020届高三数学9月月考试题（含解析）

湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2020届高三数学9月月考试题（含解析）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简为的形式，进而求得.【详解】依题意，故，故选D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.2.已知集合A=，B=，则()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出集合A中的整数，然后与集合B取交集，得到答案【详解】A=中整数有-1，0，1，2，所以故选B项【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.3.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：随机变量经计算，统计量K2的观测值k04.762，参照附表，得到的正确结论是()A. 在犯错误概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有97.5%以上把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于3.841，在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”【详解】解：由题意算得， 4.7623.841，参照附表，可得在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”故选：A【点睛】本题考查独立性检验的应用，题干给出了观测值，只要进行比较就可以得出正确选项。4.已知向量为非零向量，若,则实数的值为()A. 0B. 2C. -2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算，得到，再由的坐标表示，得到关于的方程，求出的值.【详解】(k，-2)，(2.2)，(k+2，0)，为非零向量，即k+20，k0.故选A【点睛】本题考查向量坐标运算，由向量垂直的坐标表示求参数的值，属于简单题.5.美学四大构件是:史诗、音乐、造型、建筑等，绘画和数学素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面所在平面与底面成60角，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据几何关系，得到椭圆的半长轴和半短轴与圆柱底面圆的半径之间的关系，然后算出，从而得到离心率.【详解】设圆柱底面圆的半径为R，与底面成60角的平面截圆柱，椭圆的半长轴长是2R，半短轴长是R，故选C【点睛】本题考查二面角转化为平面角求线段之间的关系，求椭圆的离心率，属于简单题.6.若，则有()A. abcB. acbC. cabD. bca【答案】B【解析】【分析】先得到，然后再对进行整理化简，得到与的关系，从而得到答案.【详解】，所以acb选B【点睛】本题考查对数的值和指数的值比较大小，属于简单题.7.函数f(x)的图象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先研究时，的函数值的正负，再研究的正负，从而排除错误选项，得到答案.【详解】由x1时f(x)0，排除B、D，又，排除A故选C【点睛】本题考查通过函数的值判断函数的图象，属于简单题.8.如图点A为单位圆上一点，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B，则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，点B得到，将所求的转化为，按照公式展开，得到答案.【详解】由题意因为，点B所以，所以，故选C【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题.9.已知函数MOD是一个求余函数，记MOD(m，n)表示m除以n的余数，例如MOD(13，3)=1，下图是某个算法的程序框图，当输入m的值为27时，则输出i的值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】读懂框图的循环语句和判断语句，分析出循环终止时的的值，得到答案.【详解】根据题意，输入满足，判断，即除以有没有余数，如有余数则，如果没有余数则然后再重新循环，直至停止循环，输出的值当n3，9，27时27能被n整除，所以进行了3次而的初始值为0，所以最终i3.【点睛】本题考查读懂框图的循环语句和判断语句，根据输入值求输出值，属于中档题.10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+y2+8x-m0与直线相交于A，B两点.若ABC为等边三角形，则实数m的值为()A. 11B. 12C. -11D. -12【答案】D【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，然后利用弦长公式，表示出弦长，再由ABC为等边三角形得到和之间的关系，构造出关于的方程，求出答案.【详解】，圆心C(-4，0)到直线的距离，所以弦长，由ABC为等边三角形，所以，解得m-12.故选D项.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，圆的弦长公式，属于简单题.11.设椭圆C:的两个焦点分别为F1,F2，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，得到，在PF1F2中，由正弦定理得到，根据和，可求出，得到答案.【详解】由，解得，在PF1F2中，由正弦定理:，解得，则，又，可知， ，得解得， ， ，所以椭C方程【点睛】本题考查椭圆的定义，正弦定理解三角形，求椭圆的标准方程，属于中档题.12.已知函数，又当时，则关于的不等式的解集为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设g(x)f(x)-sinx，并判断出为偶函数，利用导数求出其单调性，将所求的式子转化为，从而得到，解出的范围.【详解】由f(x)f(-x)+2sinx，知f(x)-sinxf(-x)-sin(-x)，设g(x)f(x)-sinx则g(x)g(-x)，即g(x)为R上的偶函数当x0时，g(x)f(x)-cosxf(x)-10则g(x)在区间0，+)上单调递增等价于，即解得。故选A项.【点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数研究函数的单调性，函数的性质的综合运用，属于中档题.二、填空题本大题共4小题每小题5分共20分。把各题答案的最简形式写在题中的横线上13.已知数列中,则_【答案】【解析】【分析】分别写出和时的式子，然后两式相除，得到答案.【详解】由题意可知，时，时，下式比上式得a5【点睛】本题考查数列的基本概念，属于简单题.14.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_【答案】【解析】【分析】由正弦定理将边化成角，按照三角函数的公式进行化简，然后得到答案.【详解】中，由正弦定理得所以由，可得，即【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，同角三角函数关系，属于简单题.15.函数的图象在点(0，2)处的切线方程为_【答案】y2【解析】【分析】求出时的解析式，然后求导，代入，得到切线斜率，然后利用切点，求出切线方程.【详解】当x1时，则f(x)在点(0，2)处的切线方程为y2.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数在某一点的切线，属于简单题.16.正三棱锥P-ABC(底面ABC为正三角形，顶点P在底面的射影为底面ABC的中心）中,PA丄PB，其体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】利用正三棱锥的对称性，由PA丄PB，得到PA、PB、PC两两垂直且相等，根据体积求出侧棱长，再将正三棱锥补成正方体，得到其外接球的直径，求出其外接球的表面积.【详解】由正三棱锥的对称性，且PA丄PB，得到PA、PB、PC两两垂直且相等，设PAPBPCa，VPABCVCPAB=，得a=3，因为PA、PB、PC两两垂直且相等，可将该三棱锥补形为棱长是a的正方体，则三棱锥的外接球即为该正方体的外接球，故直径，则该球的表面积为【点睛】本题考查正三棱锥的性质，割补法求外接圆的直径，属于中档题.三、解答题:本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.记为等差数列的前项和，已知公差，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求的值，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把化为基本量，然后得到关于的方程，求出的值，得到数列的通项；（2）将所求的式子转化为：，利用公式求出前20项的和和前40项的和，得到答案.【详解】(1)由题意可得，S30+3d，a210+d，a810+7d，即(10+d)2(30+3d)(10+7d)化简得d2+11d+100，解得d1或d10(舍去)an=10(n-1)=11n(2)由(1)得an=11n=2S20+S40=【点睛】本题考查等差数列的基本运算，等差数列求和，属于简单题.18.某种零件的质量指标值以分数(满分100分)衡量，并根据分数的高低划分三个等级，如下表:为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员随机抽取了100件零件，进行质量指标值检查，将检查结果进行整理得到如下的频率分布直方图:(1)若该生产线的质量指标值要求为:第一条:生产线的质量指标值合格和优秀的零件至少要占全部零件的75，第二条:生产线的质量指标值平均分不低于95分；如果同时满足以上两条就认定生产线的质量指标值合格，否则为不合格，请根据以上抽样调查数据，判断该生产线的质量指标值是否合格?(2)在样本中，按质量指标值的等级用分层抽样的方法从质量指标值不合格和优秀的零件中抽取5件，再从这5件中随机抽取2件，求这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀的概率【答案】（1）可以判断该生产线的质量指标值是不合格的，详见解析（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，计算出生产线质量指标值合格和优秀的零件所占比例的估计值和生产线的质量指标值平均分，然后进行判断；（2）先利用分层抽样的特点，得到所抽取出的5件零件中不合格和优秀的数量，然后将5件中随机抽取2件的情况全部列出，根据古典概型的公式，得到答案.【详解】(1)根据抽样调查数据，生产线的质量指标值合格和优秀的零件所占比例的估计值为:(0.100+0.150+0.125+0.025)2=0.80,因为0.800.75，所以满足生产线质量指标值要求的第一条;生产线的质量指标值平均分约为:(890.025+910.075+930.100+950.150+970.125+990.025)2=94.4,因为94.495，所以不满足生产线质量指标值要求的第二条;综上，可以判断该生产线的质量指标值是不合格的.(2)由频率分布直方图可知，不合格、优秀的频率分别为0.2，0.3，故在样本中用分层抽样方法从质量指标值不合格和优秀的零件中抽取5件零件，质量指标值不合格的有2件，设为甲、乙，优秀的有3件，设为A，B，C。从这5件零件中随机抽取2件，有:甲乙，甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，AB，AC，BC，共10种，其中恰好一个不合格一个优秀的有:甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C共6种所以这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀的概率P【点睛】本题考查由频率分布直方图求平均数，分层抽样的特点，古典概型，属于简单题.19.如图，等腰梯形MNCD中，MDNC，MNMD2，CDM60，E为线段MD上一点，且ME3，以EC为折痕将四边形MNCE折起，使MN到达AB的位置，且AEDC(1)求证:DE平面ABCE;(2)求点A到平面DBE的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）等腰梯形中，MD4，CDMN2，利用余弦定理求出，由勾股定理得到CEDE，然后得到AE平面CED，所以，从而可以得到DE平面ABCE.（2）由（1）得到的CEAE，可求出的面积，由DE平面ABCE，求出三棱锥的体积，利用勾股定理得到的长，然后求出的面积，利用等体积转化，求出点A到平面DBE的距离.【详解】(1)等腰梯形MNCD中，MDNC，CDMD2MD4，CDMN2，CED中，CDE60，EDMD-EM1，则由余弦定理CE，CE2+ED2=CD2CEDE，CEME，CEAE又AEDC，DCCEC，AE平面CED而平面CED，又，AECFEDE平面ABCE(2)由(1)因CEAE，则因DE平面ABCE，则等腰梯形MCD中MDNC，MD4，CD=MN2，CEDE，DE1则NC=MD-2DE=2，故BC2，设点A到平面DBE的距离为h，因DE平面ABCE则，得h所以点A到平面DBE的距离为【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，等体积法求点到面的距离，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.【答案】（1）y24x（2）【解析】【分析】（1）设N(0，b)M(a，0)，P(x，y)，将条件中的向量关系坐标化，然后进行整理，得到动点P的轨迹C的方程；（2）设切线方程为:y-y0k(x-x0)，与抛物线联立，得到，关于的方程，得到，然后将所求的转化到和，根据的范围，求出其取值范围.【详解】(1) 设N(0，b)M(a，0)，P(x，y). 因为所以，即因为所以所以x-a，y2b，所以y24x(2)设Q(x，y)，x-3，-1由题意知:切线斜率存在，设为k切线方程为:y-y0k(x-x0)，联立，化简得:ky2-4y+4y0-4kx0=016-16k(y-kx0)=0将代入得，.的取值范围是【点睛】本题考查求轨迹方程，直线与抛物线相切，属于中档题.21.已知函数.(1)证明:在区间上存在唯一零点；(2)令，若时有最大值，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）对求导得到，再对求导，得到，根据的正负，得到的单调性，再由定义域求出的正负，从而得到的单调性，由零点存在定理，进行证明；（2）对求导，得到，令，根据（1）的结论，可得在上有唯一零点，再按和进行分类，分别研究的单调性，从而得到有最大值时对的要求，得到答案.【详解】(1)易知在区间上恒成立，则在单调递减所以0，即f(x)在单调递增，又，则在区间必存在唯一零点(2)所以令，则由(1)知:则在单调递增又，即在上有唯一零点当时，由得，所以在区间单调递增;在区间单调递减；此时h(x)存在最大值h(0)，满足题意;当时，由有两个不同零点x=0及，所以h(x)在区间(0，a)单调递减；在区间，单调递增;此时h(x)有极大值h(0)2a由h(x)有最大值，可得;，解得，即综上所述:当时，h(x)在有最大值【点睛】本题考查利