辽宁省抚顺市2020届高三数学第一次模拟考试试题 文（含解析）

辽宁省抚顺市2020届高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案.详解： ， .故选：B.点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.2.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合，在根据集合的交集的运算，即可得到，得到答案【详解】由题意，集合， ，所以 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，以及集合的表示与运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.在等差数列中，前项和满足，则的值是A. 5B. 7C. 9D. 3【答案】A【解析】【分析】根据等差数列性质求的值.【详解】因为，所以，即选A.【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.4.军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18则这4个结论中，正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图估计平均数、极差、众数以及中位数，即可判断选项.【详解】根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此（1）对；甲的成绩的极差是37-8=29，（2）对；乙的成绩的众数是21，（3）对；乙的成绩的中位数是（4）错，选C.点睛】本题考查茎叶图以及平均数、极差、众数、中位数等概念，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.5.已知向量，向量与的夹角为，则的值为（）A. B. C. 7D. 13【答案】B【解析】分析】根据向量的模与向量的数量积的运算，求得，进而得到的值，得到答案【详解】由题意，可知，故选：B【点睛】本题主要考查了两个向量和的模的值，其中解答中熟记向量的模的运算，以及向量的数量积的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题6.实数，满足约束条件，则的最小值是（）A. 5B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到答案【详解】由题意，作出约束条件，所表示的平面区域，如图所示，由目标函数，可得直线，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值，联立，解得，所以目标函数的最小值为，故选：C【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为234故选：B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题8.执行如图的程序框图，则输出的的值是（）A. 30B. 126C. 62D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可得到答案【详解】由题意，模拟程序的运行，可得， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 此时，不满足条件，退出循环，输出的值为62 故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，其中解答中应模拟程序框图的运行过程，逐次循环计算，根据判断框的条件，终止循环得出输出的结果是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题9.学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据古典概型概率公式求结果.【详解】小芳和小敏报名方法共有种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有种，因此所求概率为，选B.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.10.在三棱锥中，已知，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A. 直线直线B. 直线直线C. 直线直线D. 直线直线【答案】D【解析】【分析】画出图形，取中点，连接，证明平面，则，再由，分别为棱，的中点，可得，从而得到【详解】由题意，如图所示，因为，得，取中点，连接，则，又，平面，则，分别为棱，的中点，则故选：D【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定与应用，其中解答中正确掌握空间几何体的结构特征，以及熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答额关键，着重考查空间想象能力与思维能力，属于中档题11.已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线的方程和抛物线方程联立，利用韦达定理，列出方程，求得，进而得到其准线方程，得到答案【详解】由题意，直线并代入并整理得：，设，则，解得所以该抛物线的准线方程为，故选D。【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线方程和抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题12.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用参数分离法，然后构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【详解】由题意，函数的定义域为，又由，得，则等价为方程，在上有两个不同的根，设，由得得，得，此时，函数为增函数，得得，得或，此时，函数为减函数，即当时，函数取得极大值，极大值，要使，有两个根，则即可，故实数的取值范围是，故选：D【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用参数分离法，构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数是奇函数，且当时，则的值是_【答案】【解析】【分析】先求,再根据奇函数性质得【详解】因为,又函数是奇函数，所以【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若，则的值是_【答案】【解析】【分析】先根据诱导公式化简)，再根据二倍角余弦公式求结果.【详解】因为,所以，因此.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15.在平面直角坐标系中，过轴上的点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率的值是_【答案】【解析】【分析】由题意可得，再根据，即可求出，得到答案【详解】由题意，双曲线的一条渐近线，且渐近线，故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)16.各项为正数的等比数列中，与的等比中项为,则_【答案】 【解析】由题设，又因为，所以，应填答案。三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知，分别是的三个内角，的对边，若，角是最小的内角，且（）求的值；（）若，求的值【答案】（）（）【解析】【分析】（）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合，整理可得，根据，利用同角三角函数基本关系式可求的值（）由角是最小的内角，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理即可计算得解的值【详解】（）由且，由正弦定理得：，即，由于，整理可得，又，所以（）因为角是最小的内角，所以，又由（）知，所以，由余弦定理得，即【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题18.“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：、步，（说明：“”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），、步，、步，、步，、步，且、三种类别的人数比例为，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图（）若以大学生抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在的人数；（）若在大学生该天抽取的步数在的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）所抽取的40人中，该天行走步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走步的人数 （）该天抽取的步数在的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率【详解】（）由题意，所抽取的40人中，该天行走步的人数：男12人，女14人，所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走步的人数约为人；（）该天抽取的步数在的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为，所以男生的人数为为人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，基本事件总数种，至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题19.如图，在正三棱柱中，分别为，的中点（）求证：平面；（）求三棱锥的体积【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）取的中点，连结，由三角形性质得且，结合已知得到且，则四边形为平行四边形，可得，再由线面平行的判定可得平面；（）设为的中点，由已知得到平面，然后利用等积法求三棱锥的体积【详解】（）证明：取的中点，连结，在中，、分别为，的中点，且，又为的中点，且，即且，故四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；（）解：设为的中点，棱柱底面是正三角形，有，又因为为正三角形，且为的中点，所以,又由正三棱柱，所以平面平面，由面面垂直的性质定理可得平面，即三棱锥的高为，所以【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明，以及利用等体积法七届多面体的体积问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及合理利用等体积法求解体积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题20.已知点在椭圆上，是长轴的两个端点，且（）求椭圆的标准方程；（）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由题意可得，又点在椭圆上，即，即可求出椭圆方程，（）联立方程组，利用根的判别式、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围【详解】（）由已知可得，解得，又点在椭圆上，即，解得，所以椭圆的标准方程为；（）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意，因此设直线的方程为，代入椭圆方程消去得，则有，即，且判别式，即，又点总在以为直径的圆内，所以必有，即有，将，代入得，解得，所以满足条件的直线的斜率的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数：（）讨论函数的单调性；（）若函数有最大值，且，求实数的取值范围【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）求出函数的定义域与 ，通过当时，当时，判断导函数的符号，推出单调性， （）根据（）可得此有，得，设，利用导数求出函数的最值即可【详解】（）的定义域为，由已知得，当时，所以，在内单调递增，无减区间；当时，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，（）由（）知，当时，在内单调递增，无最大值，当时，函数在取得最大值，即，因此有，得，设，则，所以在内单调递增，又，所以，得，故实数的取值范围是【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题22.在直角坐