辽宁省大连市2020届高三数学第二次模拟考试试题 文（含解析）

2020年大连市高三第二次模拟考试数学（文科）一、选择题.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.1.复数（是虚数单位），则的模为（）A. 0B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据补集定义求得，再利用交集定义求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：，本题正确选项：【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得正确.【详解】不是单调递增函数，可知错误；，则函数为偶函数，可知错误；上单调递减，可知错误；，则为奇函数；当时，单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，根据奇函数对称性，可知在上单调递增，则正确.本题正确选项：【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列的前项和为，则数列的公比（）A. -1B. 1C. 士1D. 2【答案】C【解析】【分析】分别在和列出和，构造方程求得结果.【详解】当时，满足题意当时，由得：，即，解得：综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略的情况造成求解错误.6.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】根据椭圆对称性可求得为定值，再结合，从而得到所求周长的最小值.【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称设椭圆另一焦点，则四边形为平行四边形由椭圆定义可知：又， 又为椭圆内的弦 周长的最小值为：本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的求解问题，重点考查学生对于椭圆几何性质的掌握，关键是能够利用椭圆的对称性和定义求得的值.7.一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列举出所有可能的结果，再找到符合题意的结果种数，根据古典概型求得结果.【详解】有题意知：白球有个记三个红球为：；两个白球为：一次摸出个球所有可能的结果为：，共种至少有一个红球的结果为：，共种所求概率本题正确选项：【点睛】本题考查列举法求解古典概型的概率问题，属于基础题.8.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据母线长和母线与轴的夹角求得底面半径和圆锥的高，代入体积公式求得结果.【详解】由题意可知，底面半径；圆锥的高圆锥体积本题正确选项：【点睛】本题考查锥体体积的求解问题，属于基础题.9.执行如图所示的程序框图，若输出结果为2，则可输入的实数值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】分别在和两种情况下构造关于输出值的方程，解方程得到结果.【详解】若输入的，则输出 若输入的，则输出 则输入的值的个数为个本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中根据条件结构的输出值求解输入值的问题，属于基础题.10.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等的解集为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性和单调性得到关于自变量的绝对值不等式，解不等式求得结果.【详解】为偶函数，且在上单调递增 在上单调递减又 即，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性求解不等式的问题，关键是能根据函数性质将问题转变为自变量大小之间的比较.11.已知是双曲线 的左焦点，过点且倾斜角为30的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】联立直线和渐近线方程求得纵坐标，根据可得之间关系，从而可用表示出坐标，利用中点坐标公式得到，从而求得斜率.【详解】由题意知，双曲线渐近线为：设直线方程为：由得：；同理可得：是中点 ， ，本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出之间的关系.12.函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式判断出函数为奇函数，且可求出为函数的唯一零点，进而将问题变为在上单调递增或单调递减的问题，可知导函数符号，从而利用两个函数最值的关系求得范围.【详解】为奇函数又，知为的零点若存在唯一的零点，则在上单调递增或单调递减若单调递增，则恒成立即恒成立， 又 若单调递减，则恒成立即恒成立，可知不恒成立，不合题意综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查函数性质的应用、函数零点问题，关键是能够将问题转化为函数单调递增或单调递减的问题，从而可以利用导数来解决.二、填空题。13.在中，则角的大小为_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出的形式，进而求得结果.【详解】由正弦定理得：，即则 本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.若，则_.【答案】【解析】【分析】用对数表示出，再根据对数运算法则求得结果即可.【详解】由题意得：，则本题正确结果：【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.15.已知各项都为正数的数列，其前项和为，若，则_.【答案】【解析】【分析】利用得到递推关系式，整理可知，符合等差数列定义，利用求出后，根据等差数列通项公式求得结果.【详解】由题意得：则即各项均为正数，即 由得：数列是以为首项，为公差的等差数列本题正确结果：【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.，为单位圆（圆心为）上的点，到弦的距离为，为此圆上一动点，若 ，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先求出与夹角的余弦值；通过平方运算可将线性运算整理为：，利用均值不等式构造关于的不等式，解不等式求得结果.【详解】到弦距离为 即由均值不等式可知： 本题正确结果：【点睛】本题考查均值不等式的应用问题，关键是能够通过平方运算，将向量之间的线性运算转变为向量模长和数量积的运算问题，从而化简为变量之间的关系，进而可利用均值不等式构造不等式求得结果.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数 ，是函数的零点，且的最小值为.（）求的值；（）设，若，求的值.【答案】() () 【解析】【分析】()利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；()根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】()的最小值为 ,即 ()由()知： 又 ，【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.18.在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示.（）估计这40名学生的测验成绩的中位数精确到0.1；（）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？合格优秀合计男生16女生4合计40附： 0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】() ()见解析【解析】【分析】()根据频率分布直方图，找到矩形面积和为时横坐标的取值即为中位数；()根据频率分布直方图计算频数可补足列联表，根据公式计算出，对比临界值表求得结果.【详解】()由频率分布直方图易知：即分数在的频率为：所以解得：名学生的测验成绩的中位数为()由频率分布直方图，可得列联表如下：合格优秀合计男生女生合计故没有的把握认为数学测验成绩与性别有关【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数、独立性检验问题，属于常规题型.19.如图，直三棱柱中，为的中点.（I）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；（）在（I）的条件下，设异面直线与所成的角为45，求点到平面的距离.【答案】() () 【解析】【分析】() 取中点，可知，利用面面垂直可证得平面，进而得到，根据线面垂直性质得，从而可证得；从而利用平行线分线段成比例求得结果；()利用，根据异面直线成角和分别求解出所需线段长和，从而构造方程求解出点到面的距离.【详解】()证明：取中点,连接为中点，则有 又因为三棱柱为直三棱柱 平面平面平面平面 平面又平面 ,平面,平面平面，又平面 连接,设，因为正方形 平面，平面 为的中点 为的中点 ()由()可知 可求得由余弦定理可得： 连接,连接在三棱锥及三棱锥中，点到平面的距离为又所以，即点到平面的距离为【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直的判定定理和性质定理的应用、平行关系的应用、点到面的距离的求解.立体几何问题中点到面的距离常利用体积桥的方式将所求距离变成几何体的高，构造方程，通过解方程求得结果.20.已知抛物线 ，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，与交于点.（）求的值；（）若，求面积的最小值.【答案】() () 最小值4.【解析】【分析】()根据抛物线的性质即可得到结果；()由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得；联立两切线方程，可用表示出，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值.【详解】()由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：焦点到准线的距离为，即. ()抛物线的方程为，即，所以 设， 由于，所以，即 设直线方程为，与抛物线方程联立，得所以，所以即联立方程得：，即： 点到直线的距离所以当时，面积取得最小值【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值.21.已知是函数的极值点.（）求实数的值；（）求证：函数存在唯一的极小值点，且.（参考数据：）【答案】() ()见证明【解析】【分析】()根据求得；通过导数验证函数的单调性，可知时极值点为，满足题意；()根据()可知极小值点位于，此时的零点，且此时为极小值点，代入得到关于的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论.【详解】()因为，且是极值点所以，所以此时 设 ，则则当时，为减函数又当时，则为增函数当 时，则为减函数此时为的极大值点，符合题意()由()知，时，不存在极小值点当时，为增函数，且 ，所以存在结合()可知当时，为减函数； 时，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点又 ，所以且满足 .所以由二次函数图象可知：又，【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点所处的范围，从而可将证明问题转化为在某一区间内二次函数值域问题的求解.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.（）求曲线的极坐标方程；（）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.【答案】() () 【解析】【分析】()法一：将化为直角坐标方程，根据对称关系用上的点表示出上点的坐标，代入方程得到的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将化为极坐标方程，根据对称关系将上的点用上的点坐标表示出来，代入极坐标方程即可得到结果；()利用和的极坐标方程与的极坐标方程经坐标用表示，将所求面积表示为与有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】()法一：由题可知，的直角坐标方程为：，设曲线上任意一点关于直线对称点为，所以 又因为，即，所以曲线的极坐标方程为：法二：由题可知，的极坐标方程为： ，设曲线上一点关于 的对称点为，所以 又因为，即，所以曲线的极坐标方程为：()直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：设，所以解得，解得因为：，所以当即时，取得最大值为：【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中的几何意义，