高三数学不等式的证明和解不等式2新人教版

不等式的证明和解不等式一周强化一、一周知识概述本周复习的内容是高二（上）第六章不等式主要内容为不等式的证明，不等式的解法以及不等式的应用.二、重、难点知识的归纳与剖析1、本周学习的重点（1）不等式的性质ab，cdacbd；ab0，cd0acbd；ab0anbn（nZ，且n1），ab0（nZ，且n1）；推广：ab0anbn（nR）.（2）比较法作差法：ab0ab；ab=0a=b；ab0a0时，当bc，cb，则ab.比较多项式的大小，一般采用作差法，比较单项式的大小，一般采用作商法，如果这两种方法都有困难，往往应该考虑介值法.（3）不等式定理a2b22ab（a，bR）.推论：a2b22ab（a，bR）.（a，bR）.推论：ab.a3b3c33abc（a，b，cR）.（a，b，cR）.推论：abc（a，b，cR）.a2b2c2abbcca（a，b，cR）.推论：a2b2c2(abc)2abbcca（a，b，cR）.amnbmnambnanbm（a0，b0，m、nN*）特别地：a3b3a2bab2（a0,b0）；a5b5a2b3a3b2（a0,b0）.（4）利用不等式定理求最值应注意三点正不等式成立的条件；定最值必须是不含自变量的定值；等必须判断等号能否取得到.如果利用不等式定理求最值时，“=”号确定取不到，则这种方法失效，应该考虑其他方法，一般考虑单调性法（即利用函数(a0)的单调性）.（5）有理不等式的解法根轴法（或称区间法、穿根法）用根轴法求解一元高次不等式的基本步骤是：将f(x)的最高次项的系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.（6）分式不等式的解法先将不等式整理成0或0的形式，再转化为整式不等式后用根轴法求解.（7）含有绝对值不等式的解法较简单的含有绝对值不等式及其解法一般类型及其解法（8）无理不等式的解法说明：解无理不等式之前要保证两点：被开方式非负；平方之前不等式两边都非负（9）解指数不等式的基本途径有两个：一是化为同底得出af(x)0，a1)的形式，它的同解不等式为：当a1时，f(x)g(x)，当0ag(x)；二是先用换元的方法解关于ax的不等式，再解最简指数不等式axb或axb（10）对数不等式的主要类型和解题方法是：，或0f(x)g(x) (0a0，令logaf(x)=t，转化为mt2ntk0，先求t的取值范围，再确定x的集合2、本周学习的难点不等式的证明方法：（1）比较法：求差比较法：要证ab，只须证ab0求商比较法：要证ab，而b0，只须证（2）综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法（3）分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法（4）反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法（5）换元法：换元法是指对结构较为复杂、量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式（6）判别式法：判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法（7）放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得BB1，B1B2，BiA或AA1，A1A2，AiB，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法（8）最值法：xy恒成立；xy恒成立三、例题点评例1、已知a、b、cR，求证：分析：由不等式两边的结构特点，我们联想到重要不等式x2y22xy及变形不等式：（x、yR）,故可运用它们进行证明.证明：（1）三式相加得.（2） 点评：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性例2、若a0，b0，且满足ab1ab，求ab的最小值.分析：要求ab的最小值，应该将条件不等式转化为只含有ab的不等式.解答： a0，b0， ab1ab.令t=ab（t0），得t1，即t24t40，得t22（ t0），即ab22,当且仅当a=b=1时取“=”，故(ab)min=22.点评：利用不等式求最值，要注意验证等号成立的条件.例3、证明：对于任意实数x、y，有.分析：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理.证明：用分析法：不等式显然成立，下面证明不等式.(x4y4)(x3yxy3)=(xy)(x3y3) xy与x3y3同号. (xy)(x3y3)0，即x4y4x3yxy3. x4y4xy(xy)2.点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意例4、解关于x的不等式.ax22(a1)x40（a0）.分析：先将左边二次三项式因式分解找出两根，然后就两根的大小关系写出解集.解答：原不等式变形为(ax2)(x2)0.对应一元二次方程的两根为.（1）a=1时，x1=x2=2，不等式的解集为x|x2，xR；（2）0a1时，x1x2，不等式的解集为x|x或x2；（3）a1时，x1x2，不等式的解集为x|x2或x.点评：解含参数的二次不等式时必须明确：（1）图象的开口方向；（2）判别式确定存在的范围；（3）两根的大小.例5、设不等式的解为：x（，）（1，），求a、b的值.分析：分式不等式化为整式不等式后，问题就归纳为已知一元二次不等式的解集，求系数的问题.解答：.原不等式化为(2ab)x2(ab)xab0（1）于是不等式（1）的解集为（，）（1，）.2ab0且，1为方程(2ab)x2(ab)xab=0的两根.由韦达定理点评：分母恒大于零的多项式为分式不等式向整式不等式转化提供了便利，一类与分式不等式有关的求参数问题，往往借助于判别式和韦达定理例6、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，宽度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y，由题意y与ab成反比，又设比例系数为k则，又由于箱体材料的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2(2b)2ab2a=60，因此该题的数学模型是：已知aba2b=30，a0，b0，求a，b为何值时，最小.解答：解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y由题意，其中k为比例系数(k0).又据题意2(2b)2ab2a=60（a0，b0）， (由a0，b0可得a0，要求y的最小值，必须求解ab的最大值.依题意，4b2ab2a=60， 即 aba