高三数学找症状疏通二次曲线“经络”

找症状 疏通二次曲线“经络”二次曲线是高中数学的重要内容之一，涉及知识点多且知识面广，常与其他知识（方程、三角、函数等）彼此渗透，相互融合，是高考经典题型之一。二次曲线问题往往入手容易，但要善始善终，想获得正确完美的解答却不容易。笔者根据自己的教学实践，结合同学们在学习解析几何中常见的几类症状，有针对性地加以诊断，从而提出解决之法。症状一、生搬硬套忽视标准方程成立的前提条件例1：若椭圆的一条准线方程为，其相应的焦点为（4，0），离心率为，求此椭圆方程。错解1：由已知得,所以， 从而椭圆的方程为。错解2：由已知得，所以， 从而椭圆的方程为。评析：上述解法错误的原因在于误认为椭圆的方程是中心在原点的标准方程，从而生搬硬套乱用椭圆的标准方程，导致错误。实际上，只有曲线的中心在坐标原点，对称轴在坐标轴的情况下，才能直接套用标准方程的形式。正解：由二次曲线的统一定义知：， 化简整理得椭圆的方程为。症状二、盲目互换忽视对圆锥曲线焦点位置的判断例2：求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程为，且过点的双曲线方程。错解：若焦点在X轴上，设双曲线方程为，由已知得，所以方程可化为，把点代入上述方程求得，故所求双曲线的标准方程为；同理：若焦点在Y轴上，则双曲线标准方程为。评析：上述解法错误的原因在于忽视焦点位置的探讨，贪图省事，盲目互换，以致出现错误。实际上，解决此类问题应该先判断双曲线的焦点位置，再设方程，事实上此题正是如此，焦点不在Y轴上。正解：依题意知，双曲线另一条渐近线方程为，将点代入方程左边有，即点在渐近线的下方，故焦点在X轴上，设双曲线方程为，由已知得，所以方程可化为，把点代入方程求得，故所求双曲线的标准方程为。症状三、未挖隐含忽视二次曲线的性质“有界性”例5：已知椭圆的离心率为，若P（0，1）到椭圆上的点的最短距离为2，求椭圆方程。错解：由已知，则，椭圆方程可化为，设P到椭圆上的点(x,y)的距离为d，则,所以当时，则，故所求椭圆方程为。评析：上述解法错误的原因在于忽视了椭圆的性质“有界性”，即椭圆是一个封闭曲线，在上题中动点(x,y)的纵坐标范围应为，学生误认为时取得最值，从而导致错误。解决此类问题应注意变量的值是否在对应范围内。正解：同上 当时，函数在上单调递减，所以解得，均不符合题意；当即时，函数在处去最值，则，故所求椭圆方程为。症状四、凭空想象忽视图像在解析几何中的作用例3：一个动圆和已知圆外切，并与直线相切于点，求该动圆的方程。错解：设圆的方程为，已知圆的方程可化为， 由已知得：，解之得：故所求圆的方程为。评析：上述解法正好验证了解析几何的特点：入手容易，坚持困难。此题思路正确，列式无误，但是计算困难，以致造成错误，遗漏了一组解。之所以出现如此情况，原因在于凭空想象，忽视了图像在解析几何中的重要作用，本题只要作出正确的图像，充分利用图形的几何性质，就能发现应该有两个结论，并且可以使运算简单化。正解：设动圆圆心为P，已知圆圆心为M，由已知两圆外切，则, 由几何性质得动圆圆心在过点A且与已知直线垂直的直线上，可求方程为，设，代入得，分类讨论：当时，解得,当时，解得，故所求圆的方程为：。症状五、以偏概全忽视分类讨论思想方法的应用例4：（2020福建高考）已知椭圆的右焦点为F（1，0），O为坐标原点（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F的直线交椭圆于A,B两点，若直线绕点F任意转动，恒有，求a的取值范围。错解：（1）椭圆方程；（2）设，直线的方程为，代入椭圆方程得： ，则，因，所以有恒成立，即，代入得对任意k恒成立。当时，不合题意；当时，；当时，解得。评析：直线与圆锥曲线的综合问题几乎年年都是重点考查的内容，但是上述解答忽略了对直线斜率