高三数学新课：统计（二）（文）人教版知识精讲

高三高三数学数学新课：统计（二）新课：统计（二） （文）人教版（文）人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三新课：统计（二） 1. 总体分布的估计 为考察一个总体的情况，在统计中通常是从总体中抽取一个样本，用样本情况去估计 总体的相应情况。这种估计大体分为两类，一类是用样本的频率分布去估计总体分布，一 类是用样本的某种数字特征。去估计总体的相应数字特征用样本频率分布对总体分布进行 估计的方式是列出频率分布表以及画出频率分布的直方图。在反映频率分布方面，频率分 布表比较确切，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用。 频率分布的直方图一般以横轴表示数据，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为 底以各频率除以组距的商为高分别画成矩形，这样得到的直方图即频率分布的直方图，图 中每个矩形的面积等于相应组的频率，即 频率组距 组距 频率 图中各小矩形面积和为 1，各组频率的和等于 1。 频率分布与相应总体分布的关系：样本容量越大分组越多，各组频率就越接近于总体 在相应各组取值的概率，当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小时，频率分布的直方 图就会无限接近于一条光滑的曲线总体密度曲线，此曲线反映了总体分布，即反映了 总体在各个范围内取值的概率。 2. 总体期望值和方差的估计 （1）总体期望值的估计 总体平均数（又称总体期望值）描述了一个总体的平均水平，通常用样本平均数，即 )( 1 21n xxx n x 对它进行估计 （2）总体方差的估计 方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，样本方差是指 )()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 样本标准差是指)()()( 1 22 2 2 1 xxxxxx n S n 通常是用样本方差（标准差）去估计方差（标准差） ，通常比较两个样本方差（标准差） ，去对相应的两个总体的方差（标准差）的大小比较作出一种估计。 一般地容量越大的样本对总体的代表性就越大，应在条件许可的情况下适当增加样本 容量，并力求使抽样方差法更加合理以提高样本的代表性。 【典型例题典型例题】 例 1 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本 的频率分布直方图（如下图） ，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在（元）月)3000,2500 收入段应抽出多少人？ 解：解：本题为 2020 年全国高考试题，主要考查直方图的识别及分层抽样概念。 由图可知，在（元）月收入段居民人数的频率为，)3000,250025 . 0 0005. 0500 则在此段应抽出人数为（人） 。2525 . 0 100 例 2（04 江苏、模拟）有同一型号的汽车 100 辆，为了了解这种汽车每耗油 1L 所行路程 的情况，现从中随机抽出 10 辆在同一条件下进行耗油 1L 所行路程试验，得到如下样本数 据（单位：）：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4 并分组如km 下： 分组频数频率 )95.12,45.12 )45.13,95.12 )95.13,45.13 )45.14,95.13 合计101.0 （1）完成上面频率分布表； （2）根据上表，在给定坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在 中的概率；)95.13,95.12 （3）根据样本，对总体的期望值进行估计。 解：解：（1）分组如下： 分组频数频率 )95.12,45.12 20.2 )45.13,95.12 30.3 )95.13,45.13 40.4 )45.14,95.13 10.1 合计101.0 （2）估计总体数据落在中的概率为 0.7)95.13,95.12 （3） 10 4 . 01 . 06 . 05 . 0)5 . 0(3 . 08 . 04 . 1)3 . 0(7 . 0 13 x 4 . 13 例 3（02 全国）甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位： ）其中产量比较稳定的小麦品种是 。 2 /hmt 品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年 甲9.89.910.11010.2 乙9.410.310.89.79.8 解：解：甲、乙两种冬小麦的平均单位面积产量的均值10 乙甲 xx 甲、乙两种冬小麦的方差为 )04 . 0 001 . 0 01 . 0 04. 0( 5 1 2 甲 S )04 . 0 09 . 0 64 . 0 09 . 0 36 . 0 ( 5 1 2 乙 S 由，故甲稳定 22 乙甲 SS 例 4 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 A. 9.4，0.484 B. 9.4，0.016 C. 9.5，0.04 D. 9.5，0.016 解：解：数据的平均值5 . 9 5 7 . 94 . 9