高三数学导数的概念与几何意义人教版知识精讲

高三数学高三数学导数的概念与几何意义导数的概念与几何意义人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容 导数的概念与几何意义 1. 导数的概念 设函数在及其近旁有定义，用表示的改变量，于是对应的函数值改)(xfy 0 xxx 变量为，如果极限存在极限，)()( 00 xfxxfy x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 则称函数在点处可导，此极限值叫函数在点处的导数，记作)(xfy 0 x)(xfy 0 x 或)( 0 x f 0 xx y 称为函数在到之间的平均变化率，函 x xfxxf x y )()( 00 )(xfy 0 xxx 0 数在点处的导数即平均变化率当时的极限值。)(xfy 0 x0x 2. 导数的几何意义 函数在一点的导数等于函数图形上对应点的切线斜率，即)(xfy 0 x)(,( 00 xfx ，其中是过的切线的倾斜角，过点的切线方程)(tan 0 x f ),( 000 yxP),( 000 yxP 为 )( 000 xxxfyy 3. 导数的物理意义 函数在的导数是函数在该点处平均变化率的极限，即瞬时变化率，若函)(xfy 0 x 数表示运动路程，则表示在时刻的瞬时速度。)(xf)( 0 x f 0 x 4. 导函数的概念 如果函数在开区间内每一点都可导，就说在内可导，这时，)(xf),(ba)(xf),(ba 对于开区间内每个确定的值都对应一个确定的导数，这就在内构),(ba 0 x)( 0 x f ),(ba 成一个新的函数，此函数就称为在内的导函数，记作或，即)(xf),(ba)(x f )( x yy或 x xfxxf xf x )()( lim)( 0 而当取定某一数值时的导数是上述导函数的一个函数值。x 0 xx 导数与导函数概念不同，导数是在一点处的导数， x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 导函数是某一区间内的导数，对),(ba),(bax x xfxxf xf x )()( lim)( 0 导函数是以内任一点为自变量，以处的导数值为函数值的函数关系，导函),(baxx 数反映的是一般规律，而等于某一数值时的导数是此规律中的特殊性。x 【典型例题典型例题】 例 1 已知函数在处存在导数，求。)(xfy 0 xaxf)( 0 x xfxxf x )() 2 1 ( lim 00 0 解：解：上式) 2 1 ( 2 1 )() 2 1 ( lim 00 0 x xfxxf x 2 1 0 lim x x xfxxf 2 1 )() 2 1 ( 00 令，当时，xt 2 1 0x0t 上式 2 1 0 lim t t xftxf)()( 00 axf 2 1 )( 2 1 0 例 2 已知，求导函数xxf)()(x f 解：解：xxxy xxxxxxx xxx x xxx x y 1 )( )( xxxx xf x 2 11 lim)( 0 注：注：利用定义求导数的步骤 （1）求函数增量)()( 00 xfxxfy （2）求平均变化率 x xfxxf x y )()( 00 （3）取极限 x y x 0 lim 例 3 已知曲线 C：及点，则过点 P 可向 C 引切线条数为（ ） 3 3xxy)2,2(P A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：解：设切点则切线 的方程为：),( 00 yxQl)(33( 0 2 00 xxxyy 即)(33(3 0 2 0 3 00 xxxxxy 3 0 2 0 2)33(xxxy 由点在直线 上，故)2,2(Pl 3 0 2 0 22)33(2xx 023 2 0 3 0 xx 0)22)(1( 0 2 00 xxx 或或1 0 x31 0 x31 0 x 所以过点向 C 可引三条切线P 0 x y P(2,2) 【模拟试题模拟试题】 1. 抛物线在点处的切线的倾斜角是（ ） 2 xy ) 1,1(P A. B. C. D. 2arctan)2arctan( 2 1 arctan2arctan 2. 与直线平行的曲线的切线方程是（ ）14 xy2 3 xxy A. B. 04 yx044 yx C. D. 或022 yx04 yx044 yx 3. 某物体运动规律是，则在 时的瞬时速度为 0。54 2 ttst 4. 已知，若，则 。 2 )(xxf)()(xfxfx 5. 已知，满足，则 cbxaxxf 2 )(3) 1( f 1)0( f 1) 1 (fa ， ， 。bc 6. 曲线在点处的切线与轴，轴的交点分别是 与 。43 2 xxy1xxy 7. 平行于直线且与曲线相切的直线方程是 04847yx22 23 xxxy 。 8. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程是 。0162 yx53 23 xxy 9. 已知 A、B 是抛物线上横坐标分别为，的两点，求抛物线的平行 2 xy 2 1 x3 2 x 于割线 AB 的切线方程 。 10. 若抛物线的切线与直线的夹角为，求切点坐标 。 2 xy 013 yx45 试题答案试题答案 1. D 2