高三数学简易逻辑知识精讲

高三数学简易逻辑【本讲主要内容】简易逻辑命题（简单命题，复合命题，四种命题）及其真假值，关系；充要条件及其简单应用。【知识掌握】【知识点精析】基本概念：1. 简单命题与复合命题，均为命题，以是否含有逻辑联结词来区别，这里的逻辑联结词“或”“且”“非”（即“”“”“”表示）与日常生活中的或、且、非不完全是相同的意义。命题能够判断真假的语句。（没有附加条件）简单命题不含逻辑联结词的命题。 复合命题用逻辑联结词联结简单命题构成的命题。基本形式“”“”“”2. 四种命题这是一种特殊的命题，是用一种联系的观点将两个简单判断建立因果关系形成一个新命题（复杂判断）反应出有条件的联系。基本形式：若则原命题若则否命题若则逆命题若则否命题共四种统称为注：我们不研究诸如若则，若则等形式的命题。 3. 命题的真假判断对于简单命题、非真即假对于复合命题“或”命题一真即真，全假为假“且”命题一假即假，全真为真“非”命题真假相反对于四种命题：互逆否命题同真同假为等价互逆命题、互否命题不具有必然的真假联系易混之处：命题的否定即非命题，任何命题都有“非”形式，其真假与命题真假相反，这是必然，但否命题是一种特殊命题，真假值不必然。 4. 充要条件建立在四种命题形式上的以研究命题为真时，条件与结论的相互关系，“若则”为真，为条件，为结果，就揭示了与的必然的逻辑关系，研究和判断条件的充分性与必然性。 模式：若则为真，则：为条件是的充分条件为条件是的必然条件【解题方法指导】 例1 指出下列词语的否定形式等于不等于大于不大于或“小于等于”小于不小于或“大于等于”是不是存在一个是任意一个都不是（或所有的都是）所有的都是至少有一个不是（或存在一个不是）至多有1个至少有2个至多有个至少有个至少有1个一个也没有至少有个至多有个注：“否定”即是全面，全盘否定，相互是完全对立的，思想方法可以凭借集合中“补集”思想加以指导，例如“至少有一个”亦即“”其对立面便是“”个数“”也即没有。再如，日常生活中，派2人参加活动，指令“你们2个人都去”的反对意见便是“你们2个人不都去”即“至少有一个不去”，如韦恩图示例2 判断是的什么条件 （1）已知集合A，B满足，：，：，则是的 。 本题旨在建立起集合关系与充分必然条件中的相互对应，更好的理解充分必要条件的逻辑本质，从而可以进一步解决。如：已知实数，则是的 条件等问题。即（0，5）（） 是的充分不必要条件（2）在中，A、B、C是三内角要证明，只需证明： 即可。（）要证明，只需证明： 即可。（）要证明，只需证明： 即可。（或）分析：均为对应结论的充要条件若为或为中任何一个均是充分不必要的，而为或为充要条件本题首先了解三角形内的同名三角函数之间的关系。【考点突破】【考点指要】本节作为思想方法，在高考中出现的题目更多承载其它章节的知识，而作为单纯知识点考查较少，难度属较易为主，若综合则更多表现在知识变通的环节上，充分条件是重点，在命题判断中，命题的否定与否命题是易错点。【典型例题分析】例1（04辽宁，3）已知是不同的两个平面，直线，直线，命题：与无公共点，命题：，则是的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件分析：是的必要而不充分条件，选B。本题直接考查广泛存在于立体几何中的关于位置关系的命题，从直线的位置关系与平面的位置关系的相互联系，测试学生在本章节知识间构建关联能力在平面内的直线间位置关系不能左右其所在平面的位置关系，如图示。例2（06山东，16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）（1）将函数的图象按向量平移，得到的函数图象对应的函数表达式为。（2）圆与直线相交，则得弦长为2。（3）若，则。（4）已知正方体，P是底面ABCD内一动点，P到平面的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分。分析：本题答案是（3）（4）知识涉及到函数图象平移、向量、直线与圆的位置关系，三角公式及变形，立体与解析综合等大量的命题判断，纯逻辑知识不典型，但以判断为问题形式信息量便可加大。（1）即将函数图象左移1个单位，得到的是，故错。（2）圆，半径长为2，圆心到直线距离为（弦心距）0。 弦长为4，故错。（3）展开公式求出及，两式作比便得。（4）将底面上点P到面的距离转化为P到直线AD距离，将其到直线的距离转化为P到C的距离转化的理由用到面面垂直性质，点线距离定义等，恰合抛物线定义。【综合测试】1. （1）“若，则”的逆命题（2）“若则”的否命题（3）“若是方程的两根，则”的逆命题（4）“若，则方程有两个不等的实根”的逆否命题以上四个命题中，真命题是（ ）A.（1） B.（2） C.（3） D.（4）2. 已知条件：，条件：，则是的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要3. 若、，则存在的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 设非空集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 关于双曲线有下面4个命题（1）它的渐近线方程是和（2）它的实轴长为（3）它的离心率为（4）正三角形三顶点在双曲线上，则不可能同号以上正确命题的序号是 。6. 设条件，条件，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 。 7. 条件甲：成等比数列，条件乙：成等差数列，则甲是乙的 。 8. 将下面不完整的命题补充完整，使之成为真命题。 若函数的图象与的图象关于 对称。则函数 （不必考虑所有情形） 9. 已知条件和条件，请选择适当的实数的值，分别利用所给两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的原命题可以是什么？ 10. 已知函数，求证中至少有一个不小于1。【综合测试答案】1. D 2. A 3. C 4. B 提示：5.（1）（2）（3）（4） 提示：（2）（3）（4）均可以用定形元素（等轴双曲线）而非定位置元素来确