2013年高考理科数学湖南卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013湖南，理1)复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：B解析：zii21i，对应点为(1,1)，故在第二象限，选B2(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A抽签法 B随机数法C系统抽样法 D分层抽样法答案：D解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样3(2013湖南，理3)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A B C D答案：D解析：由2asin Bb得2sin Asin Bsin B，故sin A，故A或.又ABC为锐角三角形，故A.4(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是()A B0 C D答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分令x2yd，即，由线性规划知识可得最优点为，所以dmax.5(2013湖南，理5)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为()A3 B2 C1 D0答案：B解析：设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x，y)，则y2ln x，yx24x5，联立得2ln xx24x5，令h(x)x24x52ln x(x0)，由h(x)2x40得x1，x2(舍)当h(x)0时，即x(0,)时，h(x)单调递减；当h(x)0，即x(，)时，h(x)单调递增又h(1)20，h(2)12ln 20，h(4)52ln 40，h(x)与x轴必有两个交点，故答案为B6(2013湖南，理6)已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A， B，C1， D1，答案：A解析：由题意，不妨令a(0,1)，b(1,0)，c(x，y)，由|cab|1得(x1)2(y1)21，|c|可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上如图所示，当点(x，y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P时最远，而PO，PO，故选A7(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A1 B C D答案：C解析：根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为cos ，如图所示故正视图的面积为Scos (0)，1S，而，故面积不可能等于.8(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1 C D答案：D解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)设ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(m,0)，因为直线BC方程为xy40，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，即，解得，m或m0.当m0时，P点与A点重合，故舍去m.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_答案：3解析：由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为yxa，椭圆的方程为，所以其右顶点为(3,0)由题意知03a，解得a3.10(2013湖南，理10)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_答案：12解析：由柯西不等式得(121212)(a24b29c2)(a2b3c)2，即a24b29c212，当a2b3c2时等号成立，所以a24b29c2的最小值为12.11(2013湖南，理11)如图，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P，PAPB2，PD1，则圆心O到弦CD的距离为_答案：解析：如图所示，取CD中点E，连结OE，OC由圆内相交弦定理知PDPCPAPB，所以PC4，CD5，则CE，OC.所以O到CD距离为OE.(二)必做题(1216题)12(2013湖南，理12)若x2dx9，则常数T的值为_答案：3解析：x2，x2dxx3T309，T3.13(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a1，b2，则输出的a的值为_答案：9解析：输入a1，b2，不满足a8，故a3；a3不满足a8，故a5；a5不满足a8，故a7；a7不满足a8，故a9，满足a8，终止循环输出a9.14(2013湖南，理14)设F1，F2是双曲线C：(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_答案：解析：不妨设|PF1|PF2|，由可得2a2c，PF1F230，cos 30，整理得，c23a2ac0，即e2e30，.15(2013湖南，理15)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则(1)a3_；(2)S1S2S100_.答案：(1)(2)16(2013湖南，理16)设函数f(x)axbxcx，其中ca0，cb0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_；(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1,2)，使f(x)0.答案：(1)x|0x1(2)三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数，g(x)2.(1)若是第一象限角，且f()，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合解：sin xcos xcos xsin xsin x，g(x)21cos x.(1)由f()得sin .又是第一象限角，所以cos 0.从而g()1cos 1.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x，即sin xcos x1.于是.从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为.18(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望解：(1)所种作物总株数N1234515，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3328种故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列因为P(Y51)P(X1)，P(Y48)P(X2)，P(Y45)P(X3)，P(Y42)P(X4)，所以只需求出P(Xk)(k1,2,3,4)即可记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k1,2,3,4)，则n12，n24，n36，n43.由P(Xk)得P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故所求的分布列为Y51484542P所求的数学期望为E(Y)5148454246.19(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解法1：(1)如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D而B1D平面BB1D，所以ACB1D(2)因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为)如图，连结A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1.从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190.在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB从而RtABCRtDAB，故.即AB.连结AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BB12BD2BB12AB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.解法2：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得或(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.20(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(10,0)，C(14,0)处现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小解：设点P的坐标为(x，y)(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x3|y20|，xR，y0，)(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值当y1时，d|x10|x14|x3|2|y|y20|，因为d1(x)|x10|x14|x3|x10|x14|，(*)当且仅当x3时，不等式(*)中的等号成立，又因为|x10|x14|24，(*)当且仅当x10,14时，不等式(*)中的等号成立所以d1(x)24，当且仅当x3时，等号成立d2(y)2y|y20|21，当且仅当y1时，等号成立故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.当0y1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d|x10|x14|x3|1|1y|y|y20|，此时，d1(x)|x10|x14|x3|，d2(y)1|1y|y|y20|22y21.由知，d1(x)24，故d1(x)d2(y)45，当且仅当x3，y1时等号成立综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小21(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E：x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程解：(1)由题意，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为yk1x，由得x22pk1xp20.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根从而x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pk12p.所以点M的坐标为，(pk1，pk12)同理可得点N的坐标为，(pk2，pk22)于是p2(k1k2k12k22)由题设，k1k22，k10，k20，k1k2，所以0k1k21.故p2(112)2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|y1，|FB|y2，所以|AB|y1y2p2pk122p.从而圆M的半径r1pk12p，故圆M的方程为(xpk1)2(pk12p)2.化简得x2y22pk1xp(2k121)yp20.同理可得圆N的方程为x2y22pk2xp(2k221)yp20.于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2k1)x(k22k12)y0.又k2k10，k1k22，则l的方程为x2y0.因为p0，所以点M到直线l的距离.故当k1时，d取最小值.由题设，解得p8.故所求的抛物线E的方程为x216y.22(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知