高考数学二轮专题复习讲与练：不等式

六 不等式一、范例讲评【例1】(2020年福建理科) 设 则的最小值是（A） （B） （C） （D）【思路1】三角代换法。，设，则，其中，的最小值为，选（C）【思路2】判别式法。令，则，代入整理得，由于，则，即，的最小值为，选（C）【思路3】利用基本不等式。由于，而，即（等号当且仅当时成立），（等号当且仅当时成立）而，因此（等号当且仅当，或，时成立） 的最小值为，选（C）【思路4】利用构造向量法。设向量，由于， 而， （当，当，时）的最小值为，选（C）【思路5】柯西不等式法。学习过不等式选讲的学生，若利用柯西不等式，则会更简捷，而，（等号仅当时成立） 的最小值为，选（C）【点评】在给定条件下，求一类代数式的最大值或最小值的方法较多，关键是将待求最值的代数式与已知条件建立不等关系，在利用不等式性质或一些重要不等式时要注意等号能否成立【例2】（2020年广东卷）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（A） （B） （C） （D.）【思路1】 平移直线法由得直线和直线交点为，直线与轴的交点为，与轴的交点为D（0, 4），直线与轴的交点为C（0, ），（1）当时，可行域是四边形OABC（如图），直线经过点B时取得最大值，且最大值为，而，则；（2）当时可行域是OAD（如图），直线经过点D时取得最大值，综上得的最大值的取值范围是，故选（D）【思路2】代数法将相加得，等号当且仅当，即，又，而，因此，当时，能取得最大值，则的最大值取值范围是；若，由于，则（等号仅当时成立），而，等号当，且，即，时，取得最大值8；的最大值的取值范围是，故选（D）【思路3】向量法先作出可行域，同思路1可以看成向量和向量的数量积，显然点、的坐标分别为，而 则求的最大值只需求在方向的投影的最大值，由于点P在可行域上变化，当时，可行域是四边形OABC（如图），当点P在点时，取得最大值，且最大值，而，则；当时可行域是OAD（如图），直线经过点D时取得最大值，综上得的最大值的取值范围是，故选（D）【点评】本题最常见的方法是思路1：平移直线法，转化为直线截距的最值问题；思路2通过不等式的性质得出最值，但一定要注意等号成立的条件，否则容易产生错误；思路3则从式子的结构出发，构造向量数量积，为线性规划中求的取值范围开辟了一条新途径，比起思路1来说，寻找最优解更方便二、过关训练1. 不等式的解集是（A） （B） （C） （D）且2. 设，则下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D）3. lg9lg11与1的大小关系是 （A）lg9lg111 （B）lg9lg111 （C）lg9lg111 （D）不能确定4. 已知方程和中，至少有一个方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（A）R （B）或 （C）或 （D）5. 已知函数,若,则,的大小关系为（A） （B）（C） （D）6. 某公司招收男职员名，女职员名，和须满足约束条件则z=10+10的最大值是(A) 95 (B) 90 (C) 85 (D) 807. 已知函数，则不等式的解集为（A）（B）（C）（D）8. 某民营企业生产的一种电子产品的产量连续两年增长，2002年的产量在2001年的基础上，增长率为，2020年又在2002年的基础上，增长率为、，如果这两年的平均增长率为，则（A） （B） （C） （D）与大小关系不确定9. 已知、均为正实数，且，则的最小值为 ，此时的值为 10. 以每秒米的速度从地面垂直向上发射子弹，秒后的高度米可由确定，已知发射5秒后子弹高245米，则子弹保持在245米以上的高度的时间为 秒三、考题回放1. (2002年全国理科) 不等式的解集是 2. （2020年北京理科）设集合等于（ ）（A）（B）（C） （D）3. (2020年全国卷)若，则（A）abc （B）cba （C）cab （D）ba0和a2x2+b2x+c20的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的（ ）(A)充分非必要条件.(B)必要非充分条件.(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件.6. （2000年天津理科）若，P=，Q=，R=，则（A）RPQ （B）PQ R （C）Q PR （D）P RQ7. (2020年上海卷)若关于的不等式4的解集是M，则对任意实常数，总有（A）2M，0M； （B）2M，0M； （C）2M，0M； （D）2M，0M8. （2020年广州市二模）已知R，则不等式组所表示的平面区域的面积是 (A) (B) (C) (D) 9. （1999年全国理科）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种10. （2020年陕西卷）已知函数(,若，则（A） （B）=（C） （D）与的大小不能确定（二）填空题11. （2020年上海理科）设集合A=x|x|0, 则集合x|xA且= 12. （2020年天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_ 吨，一年的总运费与总存储费用之和的最小值为 万元参考答案六 不等式二、过关训练题号12345678答案DCCAB BAC9. ； 10. 5简解或提示1. 选（D）.2. 解法1：由函数为增函数，即可得出答案为（C）.解法2：取特殊值，即可排除（A）（B）（D），故选（C）3. 根据基本不等式，而，选（C）4. 解法1：取，则方程有两个不等实根，即合乎题意，排除（B）（C）（D），故选（A）解法2：方程有两个不相等的实数根方程有两不等实根或方程和中，至少有一个方程有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根或有两个不相等的实数根或，将与的解集取并集即得的取值范围为R，选（A）.解法3：先求出方程和中，至少有一个方程有两个不相等的实数根的否定即方程和都没有两个不相等的实数根时取值范围A，然后求出A的补集即得出符合条件的的范围. 由方程和都没有两个不相等的实数根得，且，故方程和都没有两个不相等的实数根时取值范围为空集，因此方程和中，至少有一个方程有两个不相等的实数根的的取值范围为R，选（A）.5. 解法1：令代入即得，即可否定答案（A）、（C）、（D），故选（B） 解法2：令，则，而，在单调递减，又,，选（B）6. 先作出可行域，如图，其中A（5.5，4.5），且当直线z10x10y过可行域内A点附近的整点(5,4)时，取得最大值，此时z90，选（B）,此类题注意x,y的实际意义，x,y必须为正整数.本题也可仿例2思路3构造向量，根据向量数量积来求解。7. 解法1：由知，或，解得或，选（A）解法2：画出函数的图象，则图象在轴下方时的集合解法3：取，显然满足，排除（B）、（D），再取，则，即0不是解集的元素，排除（C），选（A）8. 设2001年的产量为A，则由2020年的产量为或得而，亦即，选（C）9. 解法1：由于，即