高三数学第一轮复习：等比数列；数列求和（文）人教实验A版知识精讲

高三数学第一轮复习：等比数列；数列求和（文）人教实验A版【本讲教育信息】一. 教学内容：等比数列；数列求和二. 重点：（1）定义：（2）关键量：（3）通项：（4）前n项和：（5）若，则成等比数列成等比数列，成等差数列（6）任意同号实数，有等比中项（7）公式法求和（8）裂项法求和（9）错位相减求和【典型例题】例1 数列，若数列成等比数列，求。解：， 或例2 等比数列，求证解： *，*0 ，*0 例3 等差数列，等比数列，求。解： 或例4 等比数列，中最大项是54，求解：（1） 不合题意（2） 中最大 例5 等比数列，前n项和，数列满足，求使的n的最小值。解：首项，公比为 即 例6 等比数列首项公比均为，若，求的范围。解： 对一切成立，即（1） 最小值为 （2） 综上所述例7 求和（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：（1）（2） ， （3） （4） （5）（6） 例8 已知等差数列中，公差，且分别是等比数列的第二项、第三项、第四项。（1）求数列的通项；（2）设数列对任意的，均有成立，求的值。解析：（1） 等差数列的分别是等比数列的第二、三、四项，且 公比 故（2）当时， 当时， 得，即 故例9 设等比数列的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列的前多少项和最大？解法一：设公比为，项数为，依题意有化简得解得设数列前n项和为，则可见，当时，最大而故的前5项和最大解法二：接前 于是 数列是以为首项，以为公差的等差数列令，得 由于，可见数列的前5项和最大例10 已知数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的且的等比数列，若函数，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，对一切，都有，求。解：（1） 又 ，由，且，得 （2）令，则， ，即 例11 设为数列的前n项和，数列的通项公式为；（1）求数列的通项公式；（2）把数列与的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列的通项公式为；（3）设数列的第n项是数列中的第r项，为数列的前r项的和；为数列的前n项和，求。解：（1）由，可知 ，即，而得，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列的通项公式。（2） ，而数列 ，而数列 （3）由，可知 【模拟试题】（答题时间：45分钟）1. 已知成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 82. 在等比数列中，前n项和为。若数列也是等比数列，则等于（ ）A. B. C. D. 3. 一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ）A. 三边边长之比为3：4：5B. 三边边长之比为C. 较小锐角的正弦值为D. 较大锐角的正弦值为4. 设数列的前n项和（为常数），若是等比数列，则有（ ）A. B. C. D. ，且5. 各项均为正数的等比数列，其前n项和为80，且其中最大项为54，又其前2n项和为6560，则公比q等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56. 设数列的前n项和，则数列是一个等比数列的充要条件是（ ）A. B. C. D. 为任意非零常数7. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则等于（ ）A. 16B. 26C. 30D. 80 8. 在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于（ ）A. 33B. 72C. 84D. 1899. 一个等比数列的前n项和为S，前n项的倒数之和是T，则其前n项的积是（ ）A. B. C. D. 10. 如果数列满足是首项为1，公比为2的等比数列，那么（ ）A. B. C. D. 11. 设，则等于（ ）A. B. C. D. 12. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（ ）A. 4B. 2C. D. 13. 若是与的等比中项，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 14. 数列中，且满足，。（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）设，是否存在最大的整数m，使得对任意均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。15. 设数列的首项，前n项和满足关系式：（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求数列的通项；（3）求和：。试题答案1. A 2. C3. C4. D5. B6. C7. C8. C 9. C10. B11. D12. D13. B14. 解： （1）由 可知成等差数列， （2）由可得，当 ，当时，故（3） 要使总成立，需成立即且，故适合条件的m