高三数学第一轮复习：复数苏教版知识精讲

高三数学第一轮复习：复数苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：复数二. 教学目标：1. 了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。2. 掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。3. 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。三. 知识要点：1. 虚数单位：（1）它的平方等于1，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。2. 与1的关系：就是1的一个平方根，即方程x21的一个根，方程x21的另一个根是。3. 的周期性：4n1i，4n21，4n3i，4n1。4. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所组成的集合叫做复数集，用字母C表示*。5. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式。6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b0时，复数abi（a、bR）是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b0时，zbi叫做纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数0。7. 复数集与其它数集之间的关系：NZQRC。8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a，b，c，dR，那么abicdiac，bd。一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小。也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。9. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi（a、bR）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z00i0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。这是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。10. 复数z1与z2的和的定义：z1z2（abi）（cdi）（ac）（bd）i。11. 复数z1与z2的差的定义：z1z2（abi）（cdi）（ac）（bd）i。12. 复数的加法运算满足交换律：z1z2z2z1。13. 复数的加法运算满足结合律：（z1z2）z3z1（z2z3）。14. 乘法运算规则：设z1abi，z2cdi（a、b、c、dR）是任意两个复数，那么它们的积（abi）（cdi）（acbd）（bcad）i。其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。15. 乘法运算律：（1）z1（z2z3）（z1z2）z3 ；（2）z1（z2z3）z1z2z1z3；（3）z1（z2z3）z1z2z1z3。16. 除法运算规则：。17. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数zabi和abi（a、bR）互为共轭复数。18. 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1z2的和所对应的向量。19. 复数减法的几何意义：两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。20. 复数的模：【典型例题】例1. 设复数zlg（m22m2）（m23m2）i，试求实数m取何值时，（1）z是纯虚数；（2）z是实数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限。剖析：利用复数的有关概念易求得。解：（1）由lg（m22m2），m23m2，得m3。（2）由m23m2，得m1或m2。（3）由lg（m22m2），m23m2，得1m1或1m3。点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样。例2. 设zC，求满足zR且|z2|2的复数z。分析：设zabi（a、bR），代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程。解法一：设zabi，则zabiabia（b）iR。b。b0或a2b21。当b0时，za，|a2|2。a0或4。a0不合题意舍去，z4。当b0时，a2b21。又|z2|2，（a2）2b24。解得a，b，zi。综上，z4或zi。解法二：zR，z 。（z）0，（z）0。z或|z|1，下同解法一。点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究；解法二利用复数是实数的条件，复数问题实数化。这些都是解决复数问题的常用方法。例3. 已知z1x2i，z2（x2a）i对于任意xR均有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围。分析：求出|z1|及|z2|，利用|z1|z2|问题转化为xR时不等式恒成立问题。解：|z1|z2|，x4x21（x2a）2。（12a）x2（1a2）0对xR恒成立。当12a0，即a时，不等式成立；当12a0时，1a。综上，a（1，）。点评：本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围。例4. 设z是虚数，z是实数，且12。（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u，求证：u为纯虚数；（3）求u2的最小值。（1）解：设zabi（a、bR，b0），则abi（a）（b）i。是实数，b0，a2b21，即|z|1。2a，12，z的实部的取值范围是（，1）。（2）证明：ui。a（，1），b0，u为纯虚数。（3）解：u22a2a2a2a12（a1）3。a（，1），a10。u22231。当a1，即a0时，上式取等号。u2的最小值为1。例5. 计算：解：例6. 设，试求满足的最小正整数m，n的值解：对两边取模得，所以m2n，从而所以于是n3k（k）所以满足条件的最小正整数是m6，n3例7. 是否存在复数z，使其满足（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由解：设zxyi（x，yR），则消去x得当且仅当时，复数z存在，这时；例8. 设等比数列其中1，abi，bai（a，bR且a0）求a，b的值；试求使 的最小自然数n对中的自然数n，求的值。解：因为，成等比数列，所以即于是1【模拟试题】1. 数，则在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知，则在复平面上与对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3、已知复数对应的点位于复平面的虚轴上，则实数 为（ ） A. 1 B. 1或2 C. 1 D. 24、的值等于（ ）A. 1 B. 1 C. D. 5、已知是复数，以下四个结论正确的是（）若若，则若若，则向量A. 仅正确 B. 仅正确C. 正确D. 仅正确6、i2的共轭复数是A. 2i B. 2i C. 2i D. 2i7、计算（2i）（3i3）（4i5）（5i7）（其中i为虚数单位）的值是A. 10 B. 12 C. 14 D. 168、设复数i，则1等于A. B. C. D. 9、复数z13i，z21i，则zz1z2在复平面内的对应点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限10、设x、yR，且，则xy_。11、下列命题中：任意两个确定的复数都不能比较大小；若z1，则1z1；若z12z220，则z1z2；z0z为纯虚数；zzR。其中正确的命题是。12、要使复数 为纯虚数，其中实数是否存在？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。试题答案1、答案：D2、答案：B3、答案：B4、答案：C5、答案：A6、解析：由共轭复数的定义知选D。答案：D7、解析：（2i）（3i3）（4i5）（5i7）234514。答案：C8、解析：1 i