2011年上海高考数学理科试卷(带详解)

2011年上海市高考数学试题（理科）一.填空题（56分）1.函数的反函数为 .【测量目标】反函数【考查方式】直接利用函数的表达式，解出用表示的式子，即可得到答案【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】设，可得， （步骤1），可得，将、互换得 （步骤2）原函数的值域为，. （步骤3）2.若全集，集合，则 .【测量目标】集合的基本运算（补集）.【考查方式】集合的表示法（描述法）求集合的补集.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】集合.3.设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】利用双曲线标准方程中的分母与焦点（非零坐标）的关系，列出关于的方程，通过解方程求出的值【难易程度】容易【参考答案】16【试题解析】由于点是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在轴上，从而从而得出+9=25，解得=164.不等式的解为 .【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】通过移项解一元二次不等式.【难易程度】容易【参考答案】或【试题解析】原不等式同解于，同解于，即，解得或.5.在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 .【测量目标】简单曲线的极坐标方程.【考查方式】先转换得到直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】，转化到直角坐标系得到：与=1. （步骤1）与=1夹角的正切值为， （步骤2）直线与直线的夹角大小为.(步骤3)6.在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是 千米.【测量目标】解三角形的实际应用.【考查方式】用三角形内角和求得，进而表示出，进而在中，表示出和的关系求得.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由点向作垂线，垂足为，设， （步骤1），. （步骤2）在中， （步骤3）（千米）. （步骤4） 第6题图 7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 .【测量目标】柱、锥、台、球的体积.【考查方式】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥体积【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】根据题意，圆锥的底面面积为，则其底面半径是1，底面周长为2.（步骤1）又，圆锥的母线为2，则圆锥的高. （步骤2）所以圆锥的体积. （步骤3）8.函数的最大值为 【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】利用诱导公式和积化和差公式对解析式化简，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】= =.9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案 .123?!?【测量目标】离散型随机变量的期望与方差【考查方式】，然后根据期望求法即可求得结果.【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】设 则.10.行列式（）的所有可能值中，最大的是 .【测量目标】矩阵与行列式.【考查方式】按照行列式的运算法则，化简得，再根据条件进行分析计算，比较可得其最大值【难易程度】容易【参考答案】6【试题解析】，的最大值是：22=4，的最小值是：，的最大值是611.在正三角形中，是上的点，则 .【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则即可求得的值【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】,是上的三等分点， （步骤1）, （步骤2）. （步骤3）12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）.【测量目标】古典概型.【考查方式】先求事件发生总数，再求出所求事件的对立事件总数，继而得到结果.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】事件发生总数为，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有种结果，要求的事件的概率是.13.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 .【测量目标】函数的周期性；函数的值域.【考查方式】根据题意条件，研究函数的性质，得，由此关系求出函数值域.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由题意在上成立， 故所以，由此知自变量增大1，函数值也增大1故在上的值域为14.已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则 .【测量目标】数列的极限与运算.【考查方式】由题意推导下去，则中必有一点在的左侧，一点在右侧，然后退出的极限，继而求出结果.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由题意，所以第一次只能取一条，依次下去，则中必有一点在的左侧，一点在右侧，由于是中点，根据题意推出，的极限为：，所以.二、选择题（20分）15.若，且，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）A. B. C. D. 【测量目标】基本不等式.【考查方式】根据基本不等式使用条件和定义逐个排除得到结果【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】对于A，所以A错；对于B，C，虽然，只能说明，同号，若，都小于0时，所以B，C错，故选D.16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）A. B. C. D.【测量目标】函数单调性的判断；函数奇偶性的判断.【考查方式】再结合偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】对于，函数的定义域为且，（步骤1）将用代替，解析式不变，所以是偶函数. （步骤2）当时，在区间上单调递减的函数，故选A （步骤3）17.设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为 （ ）A.0 B.1 C.5 D.10 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】把的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断的坐标、的解的组数，进而转化可得答案【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据题意，设的坐标为，、解得组数即符合条件的点的个数，再设的坐标依次为，；若成立，则，；只有一组解，即符合条件的点有且只有一个；故选B18.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为 （ ）A 是等比数列. B 或是等比数列.C 和均是等比数列.D 和均是等比数列，且公比相同.【测量目标】充分、必要条件；等比数列的性质.【考查方式】结合等比数列的性质，先判断必要性，再判断充分性得到结果.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】依题意可知， （步骤1）若为等比数列则（为常数），则和均是等比数列，且公比均为； （步骤2）反之要想为等比数列则需为常数，即需要和均是等比数列，且公比相等；（步骤3）故为等比数列的充要条件是和均是等比数列，且公比相同故选D. （步骤4）三、解答题（74分）19.（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求.【测量目标】复数代数形式的运算【考查方式】利用复数的除法运算法则求出，设出复数；利用复数的乘法运算法则求出；利用当虚部为0时复数为实数，求出【难易程度】中等【试题解析】 （步骤1）设，则，（步骤2） ，a=4 （步骤3）20.（12分）已知函数，其中常数满足. 若，判断函数的单调性； 若，求时的取值范围.【测量目标】函数单调性的判断.【考查方式】先把分为与两种情况，然后根据指数函数的单调性即可作出判断；把分为与两种情况；然后由化简得，最后由指数函数的单调性求出的取值范围【难易程度】中等【试题解析】 当时，任意，则. （步骤1） ， ，函数在上是增函数. （步骤2）当时，同理，函数在上是减函数. （步骤3） （步骤4）当时，则； （步骤5）当时，则. （步骤6）21.（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点. 设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为.求证：； 若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 第21题图 【测量目标】空间直角坐标系；点、线、面间的距离公式.【考查方式】利用线面角及二面角的定义求出，；借助面面垂直找到点在平面的位置，利用三角形的相似解出【难易程度】中等【试题解析】（1）设正四棱柱的高为.连，底面于， 与底面所成的角为，即 ，为中点，又， 是二面角的平面角，即 ，. 第21题（1）图 建立如图空间直角坐标系，有 设平面的一个法向量为， ，取得 点到平面的距离为，则.第21题（2）图 22.（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列. 求； 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为； 求数列的通项公式.【测量目标】等差数列的通项公式；数列的概念及其表示.【考查方式】利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项；对于数列，对进行分类讨论，判断是否能写成的形式；对中的进行分类讨论，对中的从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项【难易程度】较难【试题解析】 ，； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中、但不在数列中的项恰为. ， 当时，依次有， .23.（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 求点到线段（）的距离； 设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积； 写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.【测量目标】点到直线的距离公式；空间中