高考数学专题讲座 第6讲 三角函数的图象与性质

高考数学专题讲座 第6讲 三角函数的图象与性质一、考纲要求1理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义3了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数)的简图，理解、的物理意义二、基础过关1函数，的大致图象是（ ）y y y y - o x - o x - o x - o x- - - A B C D 2（2002北京）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是（ ）yA B C 0 1 2 3 xD3定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为（ ）ABCD4给定性质: 最小正周期为；图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质、的是（ ） Ay = sin(+) By = sin(2x+) Cy = sin|x| Dy = sin(2x)5下列四个结论中正确的个数有 ( ) y = sin|x|的图象关于原点对称；y = sin(|x|+2)的图象是把y = sin|x|的图象向左平移2个单位而得；y = sin(x+2)的图象是把y = sinx的图象向左平移2个单位而得；y = sin(|x|+2)的图象是由y = sin(x+2)( x0)的图象及y = sin(x-2) ( x0), 所得图象关于y轴对称, 则m的最小值是 7函数y = 2sin(+)cos(+)+asinx (xR)的图象关于x=对称, 则g(x)= asin(a+1)x的最小正周期是 三、典型例题例1 已知函数f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（，）中，求f(x)的单调区间；（3）判定方程f(x)=tan在区间（，）上解的个数例2 已知函数的定义域为，值域为 5，1 ，求常数a、b的值例3 已知函数 （1）将写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到？ （3）如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域例4 设二次函数，已知不论为何实数恒有0，0（1）求证：；（2）求证：3；（3）若函数的最大值为8，求，的值四、 热身演练1在内，使成立的取值范围为（ ）A B C D2已知sinsin，那么下列命题成立的是（ ）A若、是第一象限角，则coscosB若、是第二象限，则tantanC若、是第三象限角，则coscosD若、是第四象限角，则tantan3下列命题中正确的是（ ）A是增函数 B在第一象限是增函数C是奇函数D的反函数是4要得到函数的图象，可以将函数的图象( )A沿x轴向左平移单位 B沿x轴向右平移单位C沿x轴向左平移单位 D沿x轴向右平移单位5若2sin2+sin22sin=0则cos2+cos2的取值范围是（ ）A1,5 B1,2 C1, D1,26在DABC中，已知A、B、C成等差数列，求 的值为 7设直角三角形ABC的内切圆半径与外接圆半径分别为r的R，则的最大值为 8设函数，（，）给出下列四个论断：（1）它的周期为； （2）它的图象关于直线x=对称；（3）它的图象关于点（,0）对称； （4）在区间(,0)上是增函数以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题： 9（1）已知sin(+)sin()=, (,)，求sin4；（2）已知cos(x+)=,x，求的值10如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式 11已知函数f(x)是定义域为一切实数且图象关于x=3对称的奇函数，f(1)=1且 求证：（1）函数是周期函数；（2）求的值12已知O的半径为，在它的内接三角形ABC中，有成立，求ABC面积S的最大值三角函数的图象与性质一、考纲要求1理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义3了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数)的简图，理解、的物理意义二、基础过关1函数，的大致图象是（ C ）y y y y - o x - o x - o x - o x- - - A B C D 2（2002北京）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是（ B ）yA B C 0 1 2 3 xD3定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为（ D ）ABCD4给定性质: 最小正周期为；图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质、的是（ D ） Ay = sin(+) By = sin(2x+) Cy = sin|x| Dy = sin(2x)5下列四个结论中正确的个数有（ B ） y = sin|x|的图象关于原点对称；y = sin(|x|+2)的图象是把y = sin|x|的图象向左平移2个单位而得；y = sin(x+2)的图象是把y = sinx的图象向左平移2个单位而得；y = sin(|x|+2)的图象是由y = sin(x+2)( x0)的图象及y = sin(x-2) ( x0), 所得图象关于y轴对称, 则m的最小值是 7函数y = 2sin(+)cos(+)+asinx (xR)的图象关于x=对称, 则g(x)= asin(a+1)x的最小正周期是 三、典型例题：例1 已知函数f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（，）中，求f(x)的单调区间；（3）判定方程f(x)=tan在区间（，）上解的个数解：（1）1sinx1 sinx又函数y=tanx在x=k+(kZ)处无定义，且（，）,（, ），令sinx=，则sinx=解之得：x=k (kZ)f(x)的定义域是A=x|xR，且xk，kZtanx在（，）内的值域为（，+），而当xA时，函数y=sinx的值域B满足（，）Bf(x)的值域是（，+）（2）由f(x)的定义域知，f(x)在0，中的x=和x=处无定义设t=sinx，则当x0, )（，）（，）时，t0, (,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增又当x0，时，函数t=sinx单调递增，且t0, ，当x（，时，函数t=sinx单调递增，且t（, 当x，时，函数t=sinx单调递减，且t（, 当x（，）时，函数t=sinx单调递减，且t（0，）f(x)=tan(sinx)在区间0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数又f(x)是奇函数，所以区间（，0，也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间故在区间（，）中,f(x)的单调递增区间为：，（，），（，单调递减区间为（3）由f(x)=tan得：tan(sinx)=tan()sinx=k+ （kZ）sinx=k+(kZ)又1sinx1，k=0或k= 1当k=0时，从得方程sinx=当k=1时，从得方程sinx= +显然方程sinx=,sinx= +，在（, ）上各有2个解，故f(x)=tan在区间（，）上共有4个解例2 已知函数的定义域为，值域为 5，1 ，求常数a、b的值解： ， ， ， 当a 0时，b f ( x ) 3a + b， 解得 当a sin，那么下列命题成立的是（ D ）A若、是第一象限角，则coscosB若、是第二象限，则tantanC若、是第三象限角，则coscosD若、是第四象限角，则tantan3下列命题中正确的是（ C ）A是增函数 B在第一象限是增函数C是奇函数D的反函数是4要得到函数的图象，可以将函数的图象（ A ）A沿x轴向左平移单位 B沿x轴向右平移单位C沿x轴向左平移单位 D沿x轴向右平移单位5若2sin2+sin22sin=0则cos2+cos2的取值范围是（ A ）A1,5 B1,2 C1, D1,26在DABC中，已知A、B、C成等差数列，求 的值为 7设直角三角形ABC的内切圆半径与外接圆半径分别为r的R，则的最大值为 8设函数，（，）给出下列四个论断：（1）它的周期为； （2）它的图象关于直线x=对称；（3）它的图象关于点（,0）对称； （4）在区间(,0)上是增函数以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题： （1）（2）（3）（4）或（1）（3）（2）（4）9（1）已知sin(+)sin()=, (,)，求sin4；（2）已知cos(x+)=,x，求的值解 （1）+=sin()=cos(+)sin(+)sin()=sin(+)cos(+)=sin(+2)= cos2= 又22,cos2=，sin2= ，sin4=2sin2cos2= （2）原式=cos(2x+)tan(x+)=12cos2(x+)tan(x+)而cos(x+)=,tan(x+)= ，代入得：原式= 10如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式解：（1）由图示，这段时间的最大温差是3010=20()；（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(x+)+b的半个周期的图象=146，解得=，由图示A=(3010)=10，b=(30+10)=20，这时y=10sin(x+)+20，将x=6,y=10代入上式可取=综上所求的解析式为y=10sin(x+)+20,x6,1411已知函数f(x)是定义域为一切实数且图象关于x=3对称的奇函数，f(1)=1且 求证：（1）函数是周期函数；（2）求的值解：函数f(x)的图象关于x=3对称，f(x)=f(6+x)，函数f(x)又是奇函数，f(6+x)=f(x)=f(x)，f(x+12)=f(x+6)=f(x)，函数f(x)的周期为