2012年湖南省高考数学试卷(理科)

2012年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2012湖南）设集合M=1，0，1，N=x|x2x，则MN=（）A0B0，1C1，1D1，0，02（2012湖南）命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=3（2012湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）ABCD4（2012湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg5（2012湖南）已知双曲线C：=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C的方程为（）A=1B=1C=1D=16（2012湖南）函数f（x）=sinxcos（x+）的值域为（）A2，2B，C1，1D，7（2012湖南）在ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=（）ABC2D8（2012湖南）已知两条直线l1：y=m 和 l2：y=（m0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2 与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A16B8C8D4二、填空题（共8小题，考生作答7小题，每小题0分，满分35分，9,10,11三题任选两题作答；1216必做题）9（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（为参数，a0 ） 有一个公共点在X轴上，则a 等于_10（2012湖南）不等式|2x+1|2|x1|0的解集为_11（2012湖南）如图，过点P的直线与圆O相交于A，B两点若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_12（2012湖南）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=_13（2012湖南）（）6的二项展开式中的常数项为_（用数字作答）14（2012湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=1，n=3，则输出的数S=_15（2012湖南）函数f（x）=sin （x+）的导函数y=f（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点（1）若=，点P的坐标为（0，），则=_；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_16（2012湖南）设N=2n（nN*，n2），将N个数x1，x2，xN依次放入编号为1，2，N的N个位置，得到排列P0=x1x2xN将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3xN1x2x4xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，当2in2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置（1）当N=16时，x7位于P2中的第_个位置；（2）当N=2n（n8）时，x173位于P4中的第_个位置三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2012湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率（注：将频率视为概率）18（2012湖南）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中点（）证明：CD平面PAE；（）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积19（2012湖南）已知数列an的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1，2，（1）若a1=1，a2=5，且对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列an的通项公式（2）证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列20（2012湖南）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案21（2012湖南）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值（）求曲线C1的方程（）设P（x0，y0）（y03）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D证明：当P在直线x=4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值22（2012湖南）已知函数f（x）=eaxx，其中a0（1）若对一切xR，f（x）1恒成立，求a的取值集合（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（x1x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使f（x0）k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由2012年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2012湖南）设集合M=1，0，1，N=x|x2x，则MN=（）A0B0，1C1，1D1，0，0考点：交集及其运算。766398 专题：计算题。分析：求出集合N，然后直接求解MN即可解答：解：因为N=x|x2x=x|0x1，M=1，0，1，所以MN=0，1故选B点评：本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题2（2012湖南）命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=考点：四种命题。766398 专题：应用题。分析：首先否定原命题的题设做逆否命题的结论，再否定原命题的结论做逆否命题的题设，写出新命题就得到原命题的逆否命题解答：解：命题：“若=，则tan=1”的逆否命题为：若tan1，则故选C点评：考查四种命题的相互转化，命题的逆否命题是对题设与结论分别进行否定且交换特殊与结论的位置，本题是一个基础题3（2012湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图。766398 专题：作图题。分析：由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；故选C点评：本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图，由组合体的三视图，判断组合体的构成的方法，空间想象能力，属基础题4（2012湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用。766398 专题：阅读型。分析：根据回归方程为=0.85x85.71，0.850，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定解答：解：对于A，0.850，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，回归方程为=0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.8517085.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题5（2012湖南）已知双曲线C：=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C的方程为（）A=1B=1C=1D=1考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程。766398 专题：计算题。分析：利用双曲线C：=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，可确定几何量之间的关系，由此可求双曲线的标准方程解答：解：双曲线C：=1的渐近线方程为双曲线C：=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上2c=10，a=2bc2=a2+b2a2=20，b2=5C的方程为故选A点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线的几何性质是关键6（2012湖南）函数f（x）=sinxcos（x+）的值域为（）A2，2B，C1，1D，考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域。766398 专题：计算题。分析：通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域解答：解：函数f（x）=sinxcos（x+）=sinx+=+=sin（x）故选B点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力7（2012湖南）在ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=（）ABC2D考点：解三角形；向量在几何中的应用。766398 专题：计算题。分析：设B=，由=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cos，再利用余弦定理表示出cos，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：=1，设B=，AB=2，2BCcos（）=1，即cos=，又根据余弦定理得：cos=，=，即BC2=3，则BC=故选A点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键8（2012湖南）已知两条直线l1：y=m 和 l2：y=（m0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2 与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A16B8C8D4考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用；平行投影及平行投影作图法。766398 专题：计算题；综合题。分析：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，依题意可求得为xA，xB，xC，xD的值，a=|xAxC|，b=|xBxD|，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值解答：解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，则log2xA=m，log2xB=m；log2xC=，log2xD=；xA=2m，xB=2m，xC=，xD=a=|xAxC|，b=|xBxD|，=|=2m=又m0，m+=（2m+1）+2=（当且仅当m=时取“=”）=8故选B点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到=是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题二、填空题（共8小题，考生作答7小题，每小题0分，满分35分，9,10,11三题任选两题作答；1216必做题）9（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（为参数，a0 ） 有一个公共点在X轴上，则a 等于考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程。766398 专题：计算题。分析：化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论解答：解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（为参数，a0 ）化为普通方程：两曲线有一个公共点在x轴上，a=故答案为：点评：本题考查参数方程化为普通方程，考查曲线的交点，属于基础题10（2012湖南）不等式|2x+1|2|x1|0的解集为x|x考点：绝对值不等式的解法。766398 专题：计算题。分析：由不等式|2x+1|2|x1|0不等式|2x+1|2|x1|（2x+1）24（x1）2即可求得答案解答：解：|2x+1|2|x1|0，|2x+1|2|x1|0，（2x+1）24（x1）2，x不等式|2x+1|2|x1|0的解集为x|x故答案为：x|x点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|2|x1|0转化为（2x+1）24（x1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题11（2012湖南）如图，过点P的直线与圆O相交于A，B两点若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于考点：与圆有关的比例线段。766398 专题：计算题。分析：设出圆的半径，根据切割线定理推出PAPB=PCPD，代入求出半径即可解答：解：设圆的半径为r，且PO与圆交于C，D两点PAB、PCD是圆O的割线，PAPB=PCPD，PA=1，PB=PA+AB=3；PC=3r，PD=3+r，13=（3r）（3+r），r2=6r=，故答案为：点评：本题主要考查切割线定理等知识点，熟练地运用性质进行计算是解此题的关键12（2012湖南）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算。766398 专题：计算题。分析：利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可解答：解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i|3+i|=10故答案为：10点评：本题考查复数模的求法，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力13（2012湖南）（）6的二项展开式中的常数项为160（用数字作答）考点：二项式定理。766398 专题：计算题。分析：根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项解答：解：（）6展开式的通项为Tr+1=C6r（2）6r（）r=（1）rC6r26rx3r，令3r=0，可得r=3，其常数项为T4=（1）rC6r26r=160；故答案为160点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题14（2012湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=1，n=3，则输出的数S=4考点：循环结构。766398 专题：计算题。分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解答：解：判断前x=1，n=3，i=2，第1次判断后循环，S=6+2+1=3，i=1，第2次判断后S=5，i=0，第3次判断后S=4，i=1，第4次判断后10，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：4故答案为：4点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力15（2012湖南）函数f（x）=sin （x+）的导函数y=f（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点（1）若=，点P的坐标为（0，），则=3；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为考点：导数的运算；几何概型；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式。766398 专题：计算题。分析：（1）先利用导数的运算性质，求函数f（x）的导函数f（x），再将=，f（0）=代入导函数解析式，即可解得的值；（2）先利用定积分的几何意义，求曲线段与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率解答：解：（1）函数f（x）=sin （x+）的导函数y=f（x）=cos（x+），其中=，过点P（0，），cos=3故答案为 3（2）f（x）=cos（x+），曲线段与x轴所围成的区域面积为f（x）dx=f（x）=sin（sin）=2三角形ABC的面积为=在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为P=故答案为 点评：本题主要考查了f（x）=Asin （x+）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属基础题16（2012湖南）设N=2n（nN*，n2），将N个数x1，x2，xN依次放入编号为1，2，N的N个位置，得到排列P0=x1x2xN将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3xN1x2x4xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，当2in2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置（1）当N=16时，x7位于P2中的第6个位置；（2）当N=2n（n8）时，x173位于P4中的第32n4+11个位置考点：演绎推理的基本方法；进行简单的演绎推理。766398 分析：（1）由题意，可按照C变换的定义把N=16时P2列举出，从中查出x7的位置即可；（2）根据C变换的定义及归纳（1）中的规律可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=1610+13，即可确定出x173位于P4中的位置解答：解：（1）当N=16时，P0=x1x2x16由C变换的定义可得P1=x1x3x15x2x4x16，又将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，由此知x7位于P2中的第6个位置；（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依次类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，由于173=1610+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n8）故每段的数字有2n4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第32n4+11=32n4+11个位置故答案为32n4+11点评：本题考查演绎推理及归纳推理，解题的关键是理解新定义，找出其规律，本题是探究型题，运算量大，极易出错，解题进要严谨认真，避免马虎出错三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2012湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率（注：将频率视为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列。766398 专题：应用题。分析：（）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；（）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（X1=1且X2=1）+P（X1=1且X2=1.5）+P（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论解答：解：（）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；将频率视为概率可得P（X=1）=0.15；P（X=1.5）=0.3；P（X=2）=0.25；P（X=2.5）=0.2；P（X=3）=0.1X的分布列 X 1 1.5 2 2.5 3 P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.1（）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（X1=1且X2=1）+P（X1=1且X2=1.5）+P（X1=1.5且X2=1）由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）=0.150.15+0.150.3+0.30.15=0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，属于中档题18（2012湖南）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中点（）证明：CD平面PAE；（）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角。766398 专题：计算题；证明题。分析：解法一：（）先根据条件得到CDAE；再结合PA平面ABCD即可得到结论的证明；（）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可解法二：（）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到=0以及=0即可证明结论；（）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可解答：解法一：（）连接AC，由AB=4，BC=3，ABC=90，得AC=5，又AD=5，E是CD得中点，所以CDAE，PA平面ABCD，CD平面ABCD所以PACD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE（）过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD平面PAE知，BG平面PAE，于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE由PA平面ABCD知，PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角由题意PBA=BPF，因为sinPBA=，sinBPF=，所以PA=BF由DAB=ABC=90知，ADBC，又BGCD所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2在RTBAG中，AB=4，AG=2，BGAF，所以BG=2，BF=于是PA=BF=又梯形ABCD的面积为S=（5+3）4=16所以四棱锥PABCD的体积为V=SPA=16=解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）（）=（4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）因为=8+8+0=0，=0所以CDAE，CDAP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE（）由题设和第一问知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：|cos，|=|cos，|，即|=|由第一问知=（4，2，0），=（0，0，h），又=（4，0，h）故|=|解得h=又梯形ABCD的面积为S=（5+3）4=16所以四棱锥PABCD的体积为V=SPA=16=点评：本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型19（2012湖南）已知数列an的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1，2，（1）若a1=1，a2=5，且对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列an的通项公式（2）证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列考点：等差数列的性质；充要条件；等比关系的确定。766398 专题：计算题；证明题。分析：（1）由于对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得到B（n）A（n）=C（n）B（n），即an+1a1=an+2a2，整理即可得数列an是首项为1，公差为4的等差数列，从而可得an（2）必要性：由数列an是公比为q的等比数列，可证得即=q，即必要性成立；充分性：若对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得an+2qan+1=a2qa1由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2qan+1=0，即充分性成立，于是结论得证解答：解：（1）对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，B（n）A（n）=C（n）B（n），即an+1a1=an+2a2，亦即an+2an+1=a2a1=4故数列an是首项为1，公差为4的等差数列，于是an=1+（n1）4=4n3（2）证明：（必要性）：若数列an是公比为q的等比数列，对任意nN*，有an+1=anq由an0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是=q，=q，即=q，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；（充分性）：若对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）B（n）=qB（n）A（n），即an+2a2=q（an+1a1），亦即an+2qan+1=a2qa1由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2qan+1=0an0，=q故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列点评：本题考查等差数列的性质，考查充要条件的证明，考查等比关系的确定，突出化归思想，逻辑思维与综合运算能力的考查，属于难题20（2012湖南）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案考点：函数模型的选择与应用。766398 专题：综合题。分析：（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得，；（2）完成订单任务的时间为f（x）=maxT1（x），T2（x），T3（x），其定义域为，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x），分类讨论：当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=maxT1（x），T3（x）=max，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；当k3时，T2（x）T1（x），记，为增函数，（x）=maxT1（x），T（x）f（x）=maxT1（x），T3（x）maxT1（x），T（x）=max，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；当k2时，k=1，f（x）=maxT2（x），T3（x）=max，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解解答：解：（1）设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），其中x，kx，200（1+k）x均为1到200之间的正整数（2）完成订单任务的时间为f（x）=maxT1（x），T2（x），T3（x），其定义域为T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x）当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=maxT1（x），T3（x）=maxT1（x），T3（x）为增函数，当时，f（x）取得最小值，此时x=，f（44）f（45）x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为当k3时，T2（x）T1（x），记，为增函数，（x）=maxT1（x），T（x）f（x）=maxT1（x），T3（x）maxT1（x），T（x）=maxT1（x）为减函数，T（x）为增函数，当时，（x）取得最小值，此时x=，完成订单任务的时间大于当k2时，k=1，f（x）=maxT2（x），T3（x）=maxT2（x）为减函数，T3（x）为增函数，当时，（x）取得最小值，此时x=类似的讨论，此时完成订单任务的时间为，大于综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定分类标准，有难度21（2012湖南）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值（）求曲线C1的方程（）设P（x0，y0）（y03）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D证明：当P在直线x=4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程。766398 专题：综合题。分析：（）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小