高中数学考前基础专题训练：不等式与导数交汇典型习题

数学考前基础专题训练：不等式与导数交汇典型习题1. 设函数 ，其中 为常数（1）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；（2）若函数 的有极值点，求 的取值范围及 的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数 ，不等式 都成立2. 已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.3 . 已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意 成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程 在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.4. 已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意 成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程 在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.5. 已知函数 （1）求 在0，1上的极值； （2）若对任意 成立，求实数 的取值范围； （3）若关于 的方程 在0，1上恰有两个不同的实根，求实数 的取值范围.6. 已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.7. 已知函数 （ 为常数且 ） （1）当 时，求 的单调区间 （2）若 在 处取得极值，且 ，而 在 上恒成立，求实数 的取值范围（其中 为自然对数的底数）8. 已知 是定义在R上的函数，它在 和 上有相同的单调性，在 和 上有相反的单调性.（）求 的值；（）在函数 的图象上是否存在点 ，使得 在点 的切线斜率为 ？若存在，求出 点的坐标，若不存在，则说明理由；（）设 的图象交 轴于 三点，且 的坐标为 ,求线段 的长度 的取值范围.9. 已知函数 （ 为常数且 ） （1）当 时，求 的单调区间 （2）若 在 处取得极值，且 ，而 在 上恒成立，求实数 的取值范围（其中 为自然对数的底数）10. 已知 的定义域为区间1，1。 （1）求函数 的解析式； （2）判断 的单调性； （3）若方程 的取值范围。答案：1. 解：（1）由题意知， 的定义域为 ， 当 时， ，函数 在定义域 上单调递增 （2）由（）得，当 时，函数 无极值点 时， 有两个相同的解 ， 时， 时，函数 在 上无极值点 当 时， 有两个不同解， 时， ， ,此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表： 减极小值增由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ， ii) 当 时，0 1此时， ， 随 的变化情况如下表： 增极大值减极小值增由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点 ； 综上所述：当且仅当 时 有极值点; 当 时， 有惟一最小值点 ；当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 （3）由(2)可知当 时，函数 ，此时 有惟一极小值点 且 令函数 2. 解： （I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=2对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=4 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足 因 ，故切线的斜率为 ，整理得 .过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程 =0有三个实根.设g(x0)= ，则g(x0)=6 ，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1关于x0方程 =0有三个实根的充要条件是 ，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m2.3. 解：（I） ，令 （舍去） 单调递增；当 单调递减. 上的极大值 （II）由 得 ， 设 ， ，依题意知 上恒成立， ， ， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 （III）由 令 ，当 上递增；当 上递减 而 ， 恰有两个不同实根等价于 4. 解：（I） ，令 （舍去） 单调递增；当 单调递减. 上的极大值 （II）由 得 ， 设 ， ，依题意知 上恒成立， ， ， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 （III）由 令 ，当 上递增；当 上递减 而 ， 恰有两个不同实根等价于 5. 解：（1） ，令 （舍去） 单调递增；当 单调递减. 上的极大值，没有极小值。（2）由 得 设 ， ，依题意知 上恒成立， ， ， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 （3）由 令 ，当 上递增；当 上递减 。而 ， 恰有两个不同实根等价于 6. 解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=2 对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)| |f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=4 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足 因 ，故切线的斜率为 ，整理得 .过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程 =0有三个实根. 设g(x0)= ，则g(x0)=6 ，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1 关于x0方程 =0有三个实根的充要条件是 ，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m27. 解：（1）由 得 又 的定义域为 ，所以 当 时， 当 时， ， 为减函数当 时， ， 为增函数 所以当 时， 的单调递增区间为 单调递减区间为 （2）由（1）知当 时， ， 递增无极值所以 在 处有极值，故 且 因为 且 ，所以 在 上单调 当 为增区间时， 恒成立，则有 当 为减区间时， 恒成立，则有 无解 由上讨论得实数 的取值范围为 8. 解：（）由题意可知 在-1，0和0，2上有相反的单调性，所以 是 的一个极值点.故 ，即 是 的一个解，所以 . （）因为 在 和 上有相反的单调性，所以 在 上必有一根.又 ，易知方程 一根为 ，另一根为 ，所以 ， 假设存在点 ，使得 在点 的切线斜率为 ，则 ，即 有解.而 = ，因为 ，所以 ，与 有解矛盾。故不存在点 ，使得 在点 的切线斜率为 . （）依题意有 ，又 ，所以 ，所以 = = = ， 两点的横坐标 就是方程 的两根，所以 = = = ， 因为 ，所以当 时， ；当 时， = .所以 的取值范围是 .9. 解：（1）由 得 又 的定义域为 ，所以 当 时， 当 时， ， 为减函