高考数学总复习：函数的应用1

高考数学总复习：函数的应用一、知识结构： 二、高考考点：1函数与方程(1)结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解2函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用3.会作简单的函数图象并能进行图象变换。4.理解函数、方程、不等式之间的关系。三、知识要点：（一）函数模型1.函数的零点(1)一般地，如果函数在实数a处的值为0，即，则a叫做这个函数的零点(2)对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变；相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。（3）函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础，是通过对二次函数的零点的研究而推出的，是由特殊到一般的思想方法。2.二分法(1) 已知函数在区间a，b上是连续的，且，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点的近似值的方法，叫做二分法。(2)二分法定义的基础，是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤只要按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点（3）二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识此步骤本身就是一个解题程序。这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用3.常用的几类函数模型(1)一次函数模型：；(2)反比例函数模型：；(3)二次函数模型：；(4)指数函数模型：；(5)对数函数模型：；(6)幂函数模型：。（二）图象变换1.作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法。掌握这两种方法是本节的重点运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。 2所谓图象的几何变换法，就是把常见函数图象与图象几何变换的知识结合起来而获得函数图象的一种重要的途径。函数图象的变换包括四种：平移变换、伸缩变换、对称变换以及绝对值变换。1.平移变换由y=f(x)y=f(x+a)+b，分为横向平移与纵向平移。（1）横向平移：由y=f(x)y=f(x+a)把y=f(x)的图象上各点沿x轴平移|a|个单位；当a0时，向左平移；当a0时向右平移。（2）纵向平移：由y=f(x)y=f(x)+b把y=f(x)的图象上各点沿y轴平移|b|个单位；当b0时，向上移动；当b0时，向下移动。2.伸缩变换由y=f(x)y=Af(wx) (A0,w0) 分为横向与纵向伸缩，其变换过程可表示为：y=f(x) y=Af(wx)3.对称变换包括关于x轴，y轴，原点，y=x直线对称。（1）关于x轴对称：y=f(x)与y=-f(x)，其解析式的特征是：用-y代y，解析式能由一个变成另一个。（2）关于y轴对称：y=f(x)与y=f(-x)，其解析式的特征是：用-x代x，解析式能一个变成另一个。（3）关于原点对称：y=f(x)与y=-f(-x)，其解析式的特征是：用-x，-y分别代x，y，解析式能由一个变成另一个。（4）关于直线y=x直线对称：y=f(x)与y=f-1(x)，其解析式的特征是：用x代y，用y代x，解析式能由一个变成另一个。4.绝对值变换有两种：y=|f(x)|与y=f(|x|)（1）由y=f(x)y=|f(x)|由绝对值的意义有： 因此，几何变换的程序可以设计如下：留住x轴上方的图象翻折：将x轴下方的图象沿x轴对称上去去掉x轴下方的图象（2）由y=f(x)y=f(|x|)由绝对值的意义有： 因此，可将这种几何变换设计为： 留住y轴右侧的图象 去掉y轴左侧的图象 翻折：将y轴右侧的图象沿y轴对称到y轴左侧。（三）函数、方程和不等式函数与方程和不等式有紧密的联系.我们对方程不等式的研究，可以采取构造函数，利用函数图象进行直观的分析和解决问题，在这种解决问题的过程中体现了构造的思想和数形结合的思想.方程的问题几乎渗透到高中数学学习的每个环节，方程问题的重点是：实系数一元二次方程根的讨论，简单的指数、对数方程；热点是含参数的对数、指数方程.解决这部分内容，经常用到的解决问题的思想和方法有：函数思想、数形结合的思想、分类讨论的思想.四、经典例题：例1判断方程的实数解的个数。分析：利用零点的存在性定理判断解：设函数，用计算器或计算机作出，的对应值表。 01234125865由表可知， 又函数的图象是连续的函数在(l，O)内有零点又在上是单调递增的。在(1，0)内只有一个零点，因此方程有一个实数根点评：方程是超越方程，无法用代数的方法求得它的解，只能把方程问题转化为函数问题。通过方程所对应函数的函数值表格或作出函数的图象，用函数值的变化情况分析零点所在的区间，然后再利用单调性确定个数。例2：求方程的解的个数解析：方程的解的个数即函数的零点个数， ， 由即得或，从而在和上为增函数，在 上为减函数， 作出函数的示意图(如图)， ， 在上恰有一个零点；， 在上恰有一个零点；同理， 在上恰有一个零点；综上所述，函数的零点个数为3，即方程的解的个数为3。点评：本题在求解的过程中，只需作出反映函数性状的“大致”图象，结合函数的单调区间便可解决本问题，只要得出极大值为正，极小值为负，便可立即得到原方程有3个根例3已知函数的一个零点比1大，一个零点比l小，求实数的取值范围分析：利用韦达定理或数形结合求解解：方法1：设方程的两根分别为、（） 则 即 由韦达定理 即，解得： 方法2：函数的大致图象如图： 则 即 解得： 点评：这类题为方程的实根分布问题，解决此类问题一定要注意结合图象，从判别式、韦达定理、对称轴、函数值的符号、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件。函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题解决，也可用数形结合法。例4已知方程mx2+(m-3)x+1=0至少有一正根，求实数m的取值范围。分析：从二次函数的观点出发，结合函数图象与x轴交点的位置解决问题并对m进行分类讨论。解：令f(x)=mx2+(m-3)x+11）若m=0，则f(x)=-3x+1，与x轴交点为（，0），符合题意。2）若m0，f(0)=1，则知：当m0，f(x)图象开口向上且过（0，1），只有下图所示情形符合题意， 此时,解得0m1.当m0时，f(x)图象开口向下且过（0，1），如图所示 必然有一个交点在原点右侧，符合题意综上可得：m(-,1.点评：函数y=ax2+bx+c, 当a0时，才是二次函数。具体问题时，切忌忽略讨论a=0的情况。二次方程、二次不等式和二次函数这三个“二”次的关系是高考考查的重中之重，把二次方程和二次不等式的问题从二次函数的观点出发运用数形结合思想分析处理是高考应考必须落实的基本思路。例5利用图象变换，作出的图象。解：，要得到的图象，需要把的图象经过以下的变换才能得到： 例6：讨论方程|x2-2x-3|=a,aR的实数解的个数分析：通过观察方程两边可以令为两个函数，求方程解个数的问题就转换成了求函数图象交点个数的问题了.解：作出函数y= x2-2x-3=(x-1)2-4的图象,保留其位于x轴上方的部分,将位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,便可得到函数y=|x2-2x-3|的图象，如图 再讨论它与直线y=a的交点个数即可 （1）当a0时,解的个数是0；（2）当a=0时或a4时,解的个数是2； （3）当0a4时,解的个数是4； （4）当a=4时,解的个数是3点评：将方程和函数紧密联系起来，利用数形结合思想解决问题比较方便.例7若方程在内有唯一解，求实数m的取值范围解析： (1)原方程可变形为：，即 设曲线和直线，图象如图所示 由图可知：当即m=1时，有唯一解；当1lm4即时，有唯一解m=1或，即实数m的取值范围为：。五、高考真题：1（2020广东卷）客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是（ ） A B C D解析：由题意可知客车在整个过程中的路程函数S(t)的表达式为 对比各选项的曲线知应选C。点评：本题是一种常见的信息考察题，也是高考的热点问题，这种源于生活的命题形式体现了函数知识的数学本源。2（2020山东卷）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）A B C D 解析：用数形结合法通过作两个函数的图象找出其交点的横坐标，确定其范围，答案选B。点评：本题通过两个函数的交点横坐标所在区间进行判断，考查了函数建模的选择及函数零点所在区间的选择策略。考试说明对此部分的要求仅限于判断根的存在性或判断根所在的大致的区间，对区间的精确程度的要求并不高。对此类问题通常利用数形结合法或构造函数法，通过代数式值的符号的判断进行求解。3（2020全国卷II）把函数的图象按向量平移，得到的图象，则（ ）A B C D 答案：C4.（2020浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 答案：D 5（2020福建卷）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为： （） 令得或（不合题意，舍去） ， 在两侧的值由正变负 所以（1）当即时， （2）当即时，所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）点评：本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力六、反馈练习： 1函数在(l，1)上零点的个数为( ) A0 B1 C2 D不确定2函数在1，1上存在一个零点，则a的取值范围是（ ) A B C D或 3方程的实数解的个数为( )A0 B1 C2 D不确定4设是l，1上的增函数，且，则函数在l，1上的零点的个数 ( )A可能有3个 B可能有2个 C有唯一的一个 D没有5. 方程的根的范围是（）A B. C. D. 6如果函数至多有一个零点，则m的取值范围是_7.若方程ax2-2x+1=0(a0)的两根满足：x11, 1x23, 求a的取值范围.8.已知方程(x-2k)2=ax(kN)在区间2k-1，2k+1上有两个不等实根，求a的取值范围.9.设a, b, cR且满足关系式：2a+b+20，证明方程至少有一个正数解.参考答案：1、C 2、D 3、B 4、C 5、B 6、 7、分析：由一元二次方程联想到一元二次函数，利用函数解决方程问题比较方便。略解：令y=ax2-2x+1,根据题意作出简图： 从图象可以得到 ，解之得。8、分析：将方程左、右两边看成一个二次函数和一个一次函数，画出它们的图象，则将原方程在区间2k-1, 2k+1上有两个不等实根问题，转化为两图象在此区间有两个交点问题.解：设f(x)=(x-2k)2，g(x)=ax，x2k-1, 2k+1，在同一坐标系中作出二者的图象，则原方程在2k-1, 2k+1上有两个不相等的实根等价于两图象在区间2k-1, 2k+1上有两个不同的交点.所以直线l：y=ax应介于射线Ox与OB（包括OB）之间，B点坐标为（2k+1, 1）kOxklK