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三次函数专题一、考情分析：在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考的热点。2020年13题中档题 21题基础题；2020年14题 难题2020年3题基础题9题难题2020年未涉及2020年19题压轴题从今年江苏高考来看二次函数型问题【C级考点】普片涉及较多本于三次函数导函数为二次函数型，对三次函数问题的研究应注意强化。二、知识梳理:1.图像特征及零点分布：性质状态三 次 函 数 图 象说 明a对图象的影响当a0时，在+右向上伸展，-左向下伸展。当a0时，在+右向下伸展，-左向上伸展。与x轴有三个交点,，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点 ,，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点与x轴有一个交点1。存在极值时即2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。2.极值情况：三次函数（a0）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：=，(1) 若，则在上为增函数；(2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.总结以上得到结论:三次函数,(1) 若，则在R上无极值；(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。三、经典讲练：【例题1】：函数在时有极值，则的值分别为_ .变式训练：【临沂高新实验中学】7已知函数，时，只有一个实数根；当3个相异实根，现给出下列4个命题：函数有2个极值点；函数有3个极值点；=4，=0有一个相同的实根=0和=0有一个相同的实根其中正确命题的个数是 。3【例题2】：【05全国二卷】设为实数，函数（）求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点变式训练：a为何值时f（x）的图象与直线y=1恰有一个交点分析：令 极大值，或极小值例题3：14.对于总有成立，则= 。变式练习：【江苏扬州】14若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是 。例题4：（07全国II理22/22）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明：变式练习：【启东中学08-09高二月考】20设函数的图象如图所示，且与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域的面积为。（1）求函数的解析式；（2）设，如果过点可作函数的图象的三条切线，求证：。变式练习：【江都中学08-09学年高二第二次月考】已知函数在处取得极值.（）求函数的解析式； （）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；（）若过点可作曲线的三条切
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