（新课标）2020年高考数学 题型全归纳 应用性问题典例分析

应用性问题1 .三角形中的关系式(正弦定理、馀弦定理、三角形内角和定理、三角形面积式等)2、正弦定理和馀弦定理求解三角形的常见问题有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等3 .与实际问题有关的术语、名称(1)仰角和俯角：在目标视线与水平视线所成的角中，将目标视线位于水平视线上方的角称为仰角，将水平视线下方的角称为俯角(2)方位角：指向北方顺时针旋转目标方向线的水平角典型分析(1)某人向正东走km后，向左拐1500，然后向新的方向走3km，结果，在离出发点正好km的地方等于()(A) (B) (C )或(D)3解： c提示：利用馀弦定理(2)甲、乙二层离开，从乙的楼底眺望甲的屋顶的仰角，从甲的屋顶眺望乙的屋顶的俯角，甲、乙二层的高度分别为()美国广播公司CD解： a(3)气球在上空飞行。 气球上的工作人员测量前方山顶的a点的俯角，气球向前方飞行后，测量a点的俯角，测量山的高度()abdd解： b(4)轮船a和轮船b同时离开c岛，a向北偏东，b向西偏北偏西偏西偏西偏西偏西偏西偏西偏西偏西偏西偏西偏西偏西偏东偏东偏东偏东偏东偏东偏东了解： 90.8 nmi(5)货船在海上以40km/h从b航行至c航向是方位角，a有灯塔其方位角是在c地点观测灯塔a方位角从b到c需要30分钟从c到灯塔a的距离解： km提示：从问题意识中，通过解馀弦定理和直角三角形得到。变形训练1 :如图所示，甲船在a地点时，发现渔船在向其正东方向相距20海里的b地点遇难等待救援。 甲船在立即前往救援的同时，通知甲船西南偏离30海里的c地点的乙船，乙船应该向东北多少次方向直接向b地点进行救援(角度正确为1 )。北2010a.a乙组联赛c.c解：由连接BC的馀弦定理得到bc2=202-22010cos120=700因此，设BC=10 .22卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡耶2卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653乙船应沿北偏东71方向直线救援至b地点例2 .某海边城市附近海面有台风，现在台风中心位于城市o (图)东南300 km海面p，以20 km/h的速度从西向北移动，台风侵入范围为圆形区域，现在半径为60 km，检测出以10 km/h的速度增加，几小时后该城市持续多久了？解：在时刻t(h )设台风中心为q，台风袭击的圆形区域的半径为10t 60(km )在时刻t城市o遭到台风袭击时由馀弦定理可知因为PO=300，PQ=20t事故马上解开a:12小时后，这座城市遭到台风袭击，入侵时间持续12小时变式训练2 :如图所示，海岛a周围38节处有暗礁，一艘船向正南方航行，b中岛a向船的东南方向航行，船向30节航行后，c中岛a向船的东南方向航行，该船不改变航向继续向南方航行，测定是否有触礁的危险从题意来看，ABC中BC=30、从签名定理可以看出所以呢从a到BC的直线的距离所以船只不会继续向南航行而触礁的危险。例3 .如图所示，公园内有一边长等边ABC形状的三角地带现在是草坪，图中DE把草坪分为面积相等的两部分，d在AB上e在交流道(1)求出用ad、ED表示的函数关系式(2)如果de是灌水管，为了节约成本，最好是de的位置最短我应该在哪里？如果DE是参观课程的话，希望最长，DE的请证明位置在哪里解： (1)在ABC中，d是ABSADE=SABCADE中从馀弦定理(2)凡是命令令则灬有最小值，此时DEBC，以及有最大值，此时DE是ABC的边AB或AC的中线变式训练3 :水路断面为等腰梯形，如图所示，水路深度为梯形面积为s，为了使水路的透水量最小，必须使梯形的两腰和下底之和最小。 这时下底角是多少？解：那样的话所以呢把腰和腰的和平则只有当时，上式取等号，即当时，上式取等号因此，下角时，梯形的两腰与下底之和最小例4 .如图所示，半圆o直径为2，a为直径的延长线上的一点，OA=2，b为半圆上的任意一点，以AB为一边的等边三角形ABC . 问：点b在哪个位置时，四边形OACB的面积最大？解：AOB中，从馀弦定理因此，四边形OACB面积S=SAOB SABC因为那个时候四边形OACB的面积最大变式训练4 :如图所示，某海岛的守卫a在上午11点测量的船位于海岛北偏东的c地点，12点20分船位于海岛北偏西的b地点，12点40分船位于海岛西侧，到达距海岛5 km的e港，船速始终等速直行时，询问船速是多少解：轮船