高考数学总复习等差(比)数列的基本概念及运算 新课标 人教版

高考数学总复习等差(比)数列的基本概念及运算【复习目标及教学建议】复习目标：1理解等差数列、等比数列的定义.2理解等差中项、等比中项的概念.3掌握等差、等比数列通项公式.4掌握等差、等比数列前n项和公式.教学建议：本节重在等差、等比数列的判定，教师可提供各种情形，如推递关系式(定义），中项、通项、前n项和表达式，让学生辨识等差等比数列的特征.【基础训练】1考察下列数列，a1 =1，an+1 =an + ，b1 =2，bn+1 =bn2. an+1 =an ，bn+1 =2bn. an+1 =an+n，b1 =1，bn+1 =(bn)2 ，则an是等差数列且bn是等比数列的有（ A ）A1组B2组C3组D0组【解析】中an，bn分别是等差、等比数列.中an是等差数列但bn可能bn =0而不是等比数列. 中均不是，共有1组选A【点评】等差、等比定义.2Sn是an前n项和，Bn是bn前n项和，则an，bn分别是等差、等比数列的是（ D ）ASn = n2 + n +1，Bn =2n 1BSn =2n，Bn =2n 3CSn = n2 + n，Bn =2n + 1DSn =an+ bn，Bn =2n 1【解析】利用【点析】记住等差、等比数列的求和Sn特征及通项公式的特征.3等差数列an中，an-m = A，an+m =B.等比数列bn中，bn-m = A，bn+m =B.则有（ C ）Aan =A + B，bn =ABBan =，bn =Can =，bn =Da2n =A + B，b2n =AB【解析】等差、等比中项定义，选C.4已知等差数列an的公差d =，且前100项和S100 = 145，那么a1 + a3 + a5 +a99 = 60 .【解析】解法：由.得a1 + a100 =2.9.而a1 + a99 =2.9 0.5 =2.4.故a1 + a3 + a99 =.解法：令a1 + a3 + a99 =A.则a2+ a4 + a100 =A + 50d.故A + A + 50d =S100 =145.A= 60.【点评】等差数列求和.5已知f (x) =log2x，令an =f -1(n).则an前n项和Sn = 2n 1 .【解析】f -1(x) = 2x an =f -1(n) = 2n.【点评】等比数列求和公式.【知识要点】一、等差数列1定义从第二项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列叫做等差数列. 即：an + 1 an = d(常数)或者an + 2 an + 1 = an + 1 an(nN*).2通项公式an = a1 + (n 1)d;推广： an = am + (n m)d;变式： 由此联想点列n,an所在直线的斜率.3前n项和公式 联想前n项平均数、中位数； ，联想“成对和”相等一倒序相加法.4等差中项如果a、A, b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项, 且A = 5三个数成等差数列, 通常设为a d, a, a+d； 四个数成等差数列通常设为a 3d，a d， a + d， a + 3d.二、等比数列1定义从第二项起, 每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列叫做等比数列. 即：(q为不等于零的常数)或者 .2通项公式an = a1qn 1, 推广：an = amqn m (nm; m、nN*).3前n项和公式(q1).Sn=4等比中项若a、 b、c成等比数列, 则称b为a、c的等比中项, 且b =.5三个数成等比数列, 通常设为、x、xq; 四个数成等比数列, 通常设为、xq、xq3.6数值不为零的常数列, 既是等差数列又是等比数列.【双基固化】1等差（比）列的判断与证明例 1 已知数列an，anN*，Sn =.（1）求证：an是等差数列；（2）若b1 =1，b2 =4，bn前n项和为Bn，且Bn+1 =（a n+1 a n + 1）Bn +（a n a n+1）Bn 1（n2）.求bn通项公式.【分析】由Sn 求出an，进而判断是否满足下列条件之一：a n+1 a n =d；a n =kn + b；Sn =an2 + bn.【解析】（1）an+1 = Sn+1 Sn ,8 an+1 =,（an+1 + an）（a n+1 a n 4）=0，anN*，an+1 + an0，a n+1 a n 4=0，即a n+1 a n = 4，数列an是等差数列.（2）由a n+1 a n = 4，由题知Bn+1 = 5Bn 4 Bn1Bn+1 Bn = 4（Bn Bn1）bn+1 = 4bn（n2）又已知b1 = 1，b2 = 4.故bn是首项为1，公比为4的等比数列.an =4n 1 （nN+）2等差数列中基本量的计算例 2 等差数列的前n项和为Sn，若S12 =84，S20 = 460，求S28.【分析】由已知列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，即可求出S28.也可由等差数列求和公式的特点，由Sn =an2 + bn，求得a，b进而求S28. 【解析】方法一：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则，S12 =84，S20 =460.，解得a1= 15，d =4.Sn = 15n +.S28= 2282 1728=1092.方法二：由已知不妨设Sn =an2 + bna =2，b = 17，Sn =2n2 17nS28=2282 1728=1092.【点评】（1）方法一是联想等差数列的求和公式，转化为建立基本量的方程求基本量，方法二通过等差数列前n项和的变形式求出待定系数a，b使问题得到解决，较为简捷.（2）有关等差数列的基本运算问题，常运用列方程解方程，因此要强化列方程与解方程的技能，能做到快速、准确地运算.【能力提升】例 3 OBC的三个顶点坐标分别为(0, 0)、(1, 0)、(0, 2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为(xn, yn)，.（1）求a1，a2，a3及an；（2）证明yn+4 = 1 ，nN*；(3)若记bn = y4n + 4 y4n，nN*，证明bn是等比数列.【解析】（1）由已知得：y1 = y2 = y4 = 1，y3 =， y5 =，a1 = a2 = a3 = 2.又由题意得，+，即对任意的正整数n，各项相等，即数列an为常数列，an = 2.（2）由（1）得， 又，=1，即 ，nN*.（3）bn = y4n+4 y4n，bn+1 = y4n+8 y4n+4 =bn.又b1 = y8 y4 =0，bn是公比为的等比数列.【点评】本题是由几何迭代产生的等差等比数列，此型也是高考热点题型.本题中要利用几何迭代关系,转化为数列递推关系,进而用定义证明它是等差等比数列.【规律总结】1等差数列的识别方法有以下几种：1)定义法：an+1 an =d（常数） an 是等差数列.2)中项公式法：2 an+1= an + an+2（anN*） an 是等差数列.3)通项公式法：an =pn + q（p，q为常数） an 是等差数列.4)前n项和公式法：Sn =An2 + Bn（A，B为常数） an 是等差数列.2等比数列的识别方法有以下几种：1)定义法：（q是不为0的常数，anN*）| an |是等比数列.2)通项公式法：an =cqn（c，q均是不为0的常数，nN*） an 是等比数列.3)中项公式法：=anan+2（anan+1an+20，nN*） an 是等比数列.4)前n项和公式法： an 是等比数列. 注：要证明等差等比数列，用定义法或中项公式法.【课时作业】A组题一、选择题1已知数列an,那么对任意的nN*，点Pn（n，an）都在直线y=2x+1上，则an（ B ）A是等比数列而不是等差数列B是等差数列而不是等比数列C是等差数列且又是等比数列D不是等差数列也不是等比数列【解析】由Pn(n，an)都在直线y=2x+1上,得an=2n+1知等差数列2在等差数列an中前n项和为Sn，若S5 = 17，S10=68，则首项与公差之比为（ D ）A21B14C13D12【解析】依题意得4 得.故选D.3、设，an = f (n)，求数列an的前n项之和为 （ A ）ABC2nD0【解析】，a=3求和得A4已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好是某等比数列的第4，6，8项，那么该等比数列的公比是（ C ）A BC D【解析】由已知条件得.所以q =.二、填空题5在数列an中，an+1 = can，c为非零常数，且前n项和Sn = 3n + k，则k的值是 1 .【解析】由an = Sn Sn1 = 3n 3n1 =23n1.a1 = 3 + k = 2，k = 1.6在1和1024之间插入9个数，使这11个数顺次成等比数列，所插入的9个数之和是 1022或342 .【解析】由条件知a1=1，a11=1024，设公比为q，由an=a1qn-1,得1024=q10，q=2，当q=2时，所插入9个数之和为=1022当q= 2时，所插入9个数之和为 = 342.三、解答题7设an是等差数列，bn = ，已知：b1 + b2 + b3 =，b1b2b3 =，求等差数列的通项an.【解析】设等差数列an的公差为d则a1=a2d，a3=a2+db1b2b3 =a2=1.于是b1+b2+b3=，即2d+2d+1=，4(2d)2172d+4=0，2d=或2d=4，d= 2，或d =2.d = 2，a1 = a2 d=3，或 d=2，a1 = a2 d= 1.故当a1 = 3，d= 2时，an=a1+(n-1)d=5 2n；a1 = 1，d =2时，an= a1+(n-1)d =2n3.8设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1= 4an + 2 (nN*).（1）设bn=an+12an，求证：数列bn是等比数列；（2）设Cn=求证：数列Cn是等差数列；（3）求Sn = a1 + a2 + + an.【解析】（1）an+1 = Sn+1 Sn = 4an 4an1，an+1 2an = 2( an 2an1)，bn = 2bn1(n2).又b1 = a2 2a1 = S2 3a1 = a1 + 2 = 3，bn是首项为3，公比为2的等比数列.（2）bn=32n1，an+1 2 an =32n1，Cn+1 Cn =.又C1=，Cn是以为首项,公差为的等差数列.（3）Cn=， an=2nCn=2n2(3n 1).当n2时，Sn= 4an1+2=42n33(n1) 1+2=2n1(3n 4)+2又n=1时，S1=1.故Sn=2n1 (3n4)+2.9数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn (2t+3)Sn1=3t（t0，n=2，3，4，）（1）求证：数列an是等比数列；（2）设数列an的公比为f（t），作数列bn，使b1=1，bn=f()(n=2,3,4，)，求bn；（3）求和：b1b2b2b3+ b3b4+b2n1b2nb2n b2n+1.【解析】（1）由S1 = a1 = 1，S2 = a1 + a2 = 1 + a2，得3t (1 + a2) (2t + 3) = 3t.可得a2=,于是.又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tSn1 (2t+3)Sn2=3t，两式相减，得3tan (2t+3)an1 = 0，于是，n=3,4，因此,an是一首项为1，公比为的等比数列. （2）由f（t）=bn = f (,可见，bn是一个首项为1，公差为的等差数列.于是，bn=1+.（3）由bn，可知b2n-1和b2n是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=.b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1= b2(b1b3)+b4(b3 b5)+ b2n(b2n1- b2n+1）= (b2+b4+b2n) = n()= (2n2+3n).B组题10已知等差数列|an|的前n项和为Sn，若=，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（ A ）A100B101C200D201【解析】=，且A、B、C三点共线.a1 + a200 =1.11下表给出一个“等差数阵”：47( )( )( )a1j712( )( )( )a2j( )( )( )( )( )a3j( )( )( )( )( )a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列, aij表示位于第i行第j列的数.（1）写出a45的值；（2）写出aij的计算公式；（3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N + 1可以分解成两个不是1的正整数之积.【解析】（1）a45 = 49.（2）该等差数阵的第一行是首项为4, 公差为3的等差数列：a1j = 4 + 3(j 1)；第二行是首项为7, 公差为5的等差数列：a2j = 7 + 5(j 1），第i行是首项为4 + 3(i 1), 公差为2i + 1的等差数列, 因此,aij = 4 + 3(i 1) + (2i + 1)(j 1)=2ij + i + j = i (2j + 1) + j.（3）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j，使得N = i (2j + 1) + j.从而2N + 1 = 2i (2j + 1) + 2j +1 = (2i+1) (2j+1),即正整数2N+1可分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N + 1可以分解成两个不是1的正整数之积, 由于2N + 1是奇数, 则它必为两个不是1的奇数之积. 即存在正整数k, l, 使得2N + 1 = (2k + 1)(2l + 1),从而, N = k(2l + 1) + l = akl，可见N在该等差数阵中.综上所述, 正整数N在该等差数阵之中的充要条件是2N + 1可以分解成两