湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2020届高三数学4月联考试题 理（含解析）

湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三数学4月联考试题 理（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可.详解： ，集合，又，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据欧拉公式可得，通过化简可得到它在复平面对应的点，从而可选出答案。【详解】由题意，则表示的复数在复平面对应的点为，位于第三象限。故答案为C.【点睛】本题考查了复平面知识，考查了三角函数的化简，考查了转化思想，属于基础题。3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出.【详解】由题中所给图像可得：，又 ，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4.若数列是公比不为1的等比数列,且,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，可得，然后利用等比数列的性质可求出的值。【详解】由题意，则，设等比数列的公比为，则，故.故答案为C.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了定积分的几何意义，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数及符号函数的性质，对四个选项逐个分析即可选出答案。【详解】取，对于A，故A不正确；对于B，故B不正确；对于C，故C不正确；对于D，当时，当时，当时，即，故D正确。【点睛】本题考查了正弦函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题。6.运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A，从集合A中任取一个元素a，则函数yxa在（0，+）是增函数的概率为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据流程图逐一进行运行，求出集合A，再求出基本事件的总数，然后讨论满足“函数yx，x0，+）是增函数”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可【详解】解：模拟程序的运行，可得A8，3，0，其中基本事件的总数为3，设集合中满足“函数yx，x0，+）是增函数”为事件E，当函数yx，x0，+）是增函数时，0事件E包含基本事件为2，则P（E）故选：C【点睛】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，算法与其他知识结合在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于中档题7.已知函数 的导函数为,的解集为,若的极小值等于-98,则a的值是（ ）A. -B. C. 2D. 5【答案】C【解析】【分析】对函数求导，利用二次函数的性质可得到的关系，然后结合的极小值等于-98，可求出的值。【详解】由题意，因为的解集为,所以，且，则，的极小值为，解得，故答案为C.【点睛】本题考查了函数的导数与极值，考查了二次函数的性质，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题。8.已知的展开式中常数项为-40，则的值为（ ）A. 2B. -2C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】写出的展开式的通项，求出其含的项，则答案可求【详解】解：的展开式的通项为x52r取52r1，得r3，取52r0，得r（舍）的展开式中常数项为，得a2故选：C【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.9.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，可知在上是增函数，从而得到，即，又因为函数在区间上存在唯一的使得，可得到，结合，可得到，从而得到，即可选出答案。【详解】函数在区间上是增函数,又因为是R上奇函数，根据对称性可知函数在上是增函数,则，解得，因为，所以，因为函数在区间上存在唯一的使得,所以，则，则，解得，只有当时，满足题意，故，所以只有选项A不可能取到。【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了正弦函数的单调性、周期性、最值，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于难题。10.直线与双曲线C：的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若 (a、bR,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出A、B两点坐标，利用可以得到点的坐标，代入双曲线方程可得，然后利用基本不等式可选出答案。【详解】双曲线C：的渐近线为，与直线交于，设，则，因为，所以，由于点在双曲线上，故，解得，则（当且仅当时取“=”）。故答案为B.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了向量的坐标表示，考查了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，属于中档题。11.如图，在正方体中,平面a垂直于对角线AC,且平面a截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为,周长为,则（ ）A. 为定值,不为定值B. 不为定值,为定值C. 与均为定值D. 与均不为定值【答案】B【解析】【分析】将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体，是以平行平面和为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，设正方体棱长为，可求得六边形的周长为与无关，即周长为定值；当都在对应棱的中点时，是正六边形，计算可得面积，当无限趋近于时，的面积无限趋近于，从而可知的面积一定会发生变化。【详解】设平面截得正方体的六个表面得到截面六边形为，与正方体的棱的交点分别为（如下图），将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体，是以平行平面和为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，设正方体棱长为，则，故，同理可证明，故六边形的周长为，即周长为定值；当都在对应棱的中点时，是正六边形，计算可得面积，三角形的面积为，当无限趋近于时，的面积无限趋近于，故的面积一定会发生变化，不为定值。故答案为B.【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了截面的周长及表面积，考查了学生的空间想象能力，属于难题。12.设函数，,若当0当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，构造函数，是上的单调递增函数，又是奇函数，当，从而可得到，利用这一性质可解决本题。【详解】由题意，令，则而是上的单调递增函数，又是奇函数，于是.故不等式恒成立，可得到，则，即，因为，所以，则，故.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数单调性与奇偶性的应用，构造函数是解决本题的关键点，属于难题。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.实数满足,则的最大值是_.【答案】21【解析】【分析】画出满足的可行域，当目标函数经过点时，取得最大值，求解即可。【详解】画出满足的可行域，由解得点，则目标函数经过点时，取得最大值为.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。14.现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是_ 【答案】【解析】【分析】根据题意，判断顶点的投影在不在底面边上，可判断是否存在一个侧面与此底面互相垂直。【详解】编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧棱底面，则侧面底面，满足题意；编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧面底面，满足题意；编号为的三棱锥，顶点的投影不在底面边上（如图），不存在侧面与底面垂直。故答案为.【点睛】本题考查了三棱锥的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于中档题。15.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】由题意，先表示出的坐标，然后可得到直线的方程，求出圆心到直线的距离为，圆的半径为，再结合弦长为，求解即可。【详解】由题意，设在第一象限，则，则直线的方程为，以为直径的圆的圆心为，半径为，则到直线的距离为，则圆截直线所得的弦长为，解得.【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了圆的性质，考查了圆中弦长的计算，属于中档题。16.设数列的前项和为满足：，则_【答案】【解析】【分析】时，从而可以得到，即是等比数列，即可求出的表达式。【详解】由题意，时，即，时，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以，故.【点睛】本题考查了数列的递推关系的运用，考查了等比数列的通项公式，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图, 四点共圆,为钝角且,（1）求;（2）设,求的值.【答案】(1)4(2)【解析】【分析】（1）由可求出，在中，由余弦定理，可求出；（2）连接，由，即，从而可知与互补，可知，由正弦定理，即可求出.【详解】（1），且角为钝角，.在中，由余弦定理得，解得或（舍），故. （2）连接，则,，则，即，故，则与互补，于是在中由正弦定理.【点睛】本题考查了圆的性质，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题。18.已知分别为椭圆的左、右焦点.（1）当时,若是椭圆上一点,且位于第一象限,求点的坐标;（2）当椭圆的焦距为2时,若直线与椭圆相交于两点,且,试求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1) 设，由可得解出即可；(2)将直线方程与椭圆方程联立，得到一元二次方程，结合根与系数关系与，可求出，然后求出弦长及点到直线的距离，利用三角形的面积公式即可得到答案。【详解】（1）设，则于是（2），椭圆方程为，联立直线,解得满足， 则于是 .【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式及点到直线的距离公式的运用，考查了三角形的面积计算，属于中档题。19.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC底面ABCD，PA=PC=（1）求证：PB=PD;（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQPH,若存在,求BH的长,若不存在,请说明理由.【答案】(1)见证明；(2)见解析【解析】【分析】(1) 记ACBD=O，连结PO，易证POAC，结合平面PAC底面ABCD，可得到PO底面ABCD，从而得到POBD，则有PB=PD；(2) 以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量n，设，可得到点的坐标，即可表示出，由=0，可求出及，设，可表示出点及，由，可求出，从而可求出。【详解】(1)证明：记ACBD=O，连结PO，底面ABCD为正方形，OA=OC=OB=OD=2.PA=PC，POAC，平面PAC底面ABCD=AC，PO平面PAC，PO底面ABCD.BD底面ABCD，POBD. PB=PD.(2)以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知OP=2.可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.设平面的法向量n=，令，可得n=.记，可得，=0，可得，解得.可得，.记，可得，若DQPH，则，解得.故.【点睛】本题考查了空间中直线与直线相等关系的证明，考查了利用空间向量证明直线与直线垂直，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题。20.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k15.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：0.0500.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）分别求出两家公司的月薪的期望E（X）、E（Y），经计算E（X）E（Y），再求出两家公司的月薪的方差，D（X）D（Y），比较这些数据即可作出选择；（2）由k15.55135.024，结合表中对应值，可以得出“选择意愿与年龄有关系”的结论的犯错的概率的上限，由题中数据可以得到选择意愿与性别两个分类变量的22列联表，求出对应的K2，可得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率的上限，从而可知选择意愿与性别关联性更大。【详解】（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）60000.4+70000.3+80000.2+90000.17000，E（Y）50000.4+70000.3+90000.2+110000.17000，D（X）（60007000）20.4+（70007000）20.3+（80007000）20.2+（90007000）20.110002，D（Y）（50007000）20.4+（70007000）20.3+（90007000）20.2+（110007000）20.120002，则E（X）E（Y），D（X）D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k15.55135.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K26.734，且K26.7346.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大【点睛】本题考查了期望与方差的求法及应用，考查了独立性检验，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于中档题。21.已知,设,且,记;（1）设,其中,试求的单调区间;（2）试判断弦的斜率与的大小关系,并证明;（3）证明：当时,.【答案】（1）见解析；（2）见证明；（3）见证明【解析】【分析】（1）（），对其求导，讨论的范围即可判断的单调区间；（2），,二者作差，令，构造函数，通过求导可判断的单调性，从而可得到，即可判断；（3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证，转化为，构造函数，通过求导可判断它的单调性进而得到，从而证明了结论。【详解】（1）（），若，则，是上的增函数，若，则的增区间为，减区间为. （2），,则，令，则，令，而，则在单调递增，且恒为正，又因为，所以，即.（3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证，转化为.令，令，则，当时，故在上单调递增，则，故在上单调递增，则，故时，成立，即当时,.【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了不等式