高中数学“分类与整合思想”专题及专项训练

“分类与整合思想”专题及专项训练一、大纲解读分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类标准要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.纵观近几年高考试题,通常是由参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.二、高考预测预计2020年高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.三、重点剖析重点1对等比数列公比q的分类讨论；对n奇偶性的讨论；解分式不等式时分类讨论各因式的符号；运用比较法时对式子符号的讨论等等例1设等比数列的公比为，前n项和()求的取值范围；()设，记的前n项和为，试比较与的大小分析：由于涉及等比数列的前n项和公式的应用，须分和讨论欲比较与的大小，只须求出与后，再用作差法比较解：()因为是等比数列，当上式等价于不等式组： 或 解式得q1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1q0且10当或时即；当且0时，即；当或=2时，即点评：该例中在使用等比数列的前n项和公式，须分和讨论，不要忽视的情况在第二小问中，抓住，利用等比数列的通项公式，巧妙的把转化成最后，作差比较与，即，为确定差的符号，故对进行分类讨论重点2指数函数和对数函数的单调性研究时对底数进行分类讨论例2如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是()分析：本题在用复合函数单调性判断时，需要对底数a进行分类讨论解：令，则外层函数为若a1，则内层函数在上是增函数，其值域是，要使函数在区间上是增函数，所以需要外层函数在上是增函数，所以对称轴，这与a1矛盾；若0a0时，下面列出 ，f(x)的对应值表如下：(，1)1(1，)(，+ )+ 0 0 +f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以，函数f(x)在处取得极小值当0时，因，所以0或评注：若将题设条件改为，则必须对进行分类讨论：当时，同上；当时，=；当时，同理得b , a1, 0 a 1和0a1，进行分类讨论.当a1时，函数f(x)的单增区间为()和(a，+)与f(x)在(-)内单增矛盾。当0a1时，函数f(x)的单增区间为()，从而有-解得a() 9. B 当n为奇数时，易算得a n+a n+1=2 . 故a 1+a 2+a 3+a100 = (a99+a100)=502=100 .10设,先研究的情形,此时在上是减函数. 1)若,则是增函数,不满足题意;2) 若,则在是减函数,且,.再研究的情形, 此时在上是增函数.易知,显然恒成立. 选B.11.B 分00, x=0, x0时，由数轴标根法，原不等式解集为；当a=0时，原不等式解集为；当a0时，原不等式，由数轴标根法，得原不等式解集为18解：设曲线上任上一点为M（x , y），则其到P点的距离为 d = .x2 0 , a0时，d min= ; a0，可得a1=S 10，q0 .当q =1时，S n= na 10 ； 当q1时，S n= . 上式等价于由得q1，由得-1q0，-1 q0 ,当-1q2时， T nS n ； 当- q0或0q2时，T n0 . ONMN ，|ON|=1 ， |MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2 -1 . 设动点M的坐标为（x，y），则 ，即（2-1）（x2+y2 -42x+(42+1)=0 . 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故此方程为所求的轨迹方程 . 当=1时，方程为x=,它是垂直于x的轴且与x轴相交于点（，0）的直线； 当1时，方程化为, 它是以为半径的圆 .21.解：令对函数求导数：令解得1)当时,对所有所以在上是增函数.又所以对有即当时,对于所有都有2)当时,对于所以在是减函数,又所以对有即所以,当