2020高中数学 2.2.1对数的运算-换底公式素材 新人教A版必修1

对数与对数运算-换底公式一、内容与内容解析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修1第二章基本初等函数（I）中2.2.1节 对数与对数运算的第三课时，主要内容是探究换底公式并会用其进行简单的证明和计算.在此之前，学生已经学习过了对数的概念、指数与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，本节课就是在此基础上，探究讨论对数的换底公式.从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让学生去探究，对学生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导学生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的问题.教学的重点：对数的换底公式的应用.本节内容具有很强的灵活性，换底公式在以后的学习中有着非常重要的应用，对数的运算法则是在同底的基础上，就使得其有很强的局限性，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要.特别是在解决实际问题，计算具体的对数数值时，换底公式更是不可或缺.因此要反复训练，强化记忆.本节内容由两部分构成，其一探究对数的换底公式并对其进行证明，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法；其二利用换底公式去进行具体的求值和运算.本节课内容是体现新课程让学生积极自主探索、合作交流学习方式的良好素材.本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在探究换底公式的过程中，以特殊例子为引入，然后逐步的一般化，体现了从特殊到一般以及转化的数学思想.本节的实例，可以让学生体会数学知识在实际生活中的应用，从而向学生渗透学好数学、用好数学的思想，能让学生对数学知识的学习产生浓厚的兴趣.也能给学生一些科普方面的教育.同时，本节课又教给学生如何利用计算器去算对数的方法，增强了本节课的实用性,也给了学生动手操作的机会.二、目标和目标解析（一）教学目标1掌握对数的换底公式，并能利用换底公式解决对数问题.2在探究换底公式过程中，体会转化与化归以及从特殊到一般的数学思想.3培养学生应用已有知识发现问题及解决问题的能力，体会数学知识在实际生活中的应用，提高学生学习数学的热情.（二）教学目标解析1掌握换底公式指的是：熟记换底公式，能够证明换底公式，并且要鼓励学生尝试不同的方法去证明,拓展思维；对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，这里要求学生能够利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算.2体会数学思想指的是：通过问题1、问题2和问题3的逐步的推进和一般化，体会数学从特殊到一般的解决问题的数学思想方法，同时，利用指数对数的转化或者题目中底数的化归统一等，加深对转化和化归的理解. 3对于具体的求值问题，可以应用不同的性质来解决，非常灵活，但不困难，题目做起来非常有趣；通过这部分内容，培养学生的数学能力，感受数学学科的特点.如例2是一道跟历史、科普知识有关的题目，而且还要用到计算器，这些都将吸引学生，并且激发学生学习数学的兴趣.三、教学问题诊断分析（一）问题诊断分析（1）个别同学在求解时会存在无从下手的感觉，其根本原因是学生对于利用指数与对数转化探究对数性质的过程理解不深刻，教学中以小组合作探究式的学习方式来弥补这一不足.（2）在解决具体问题时，学生不能选择适当的底数来应用换底公式.出现这一问题的原因是：学生对换底公式尚不太熟悉，转化的能力也有待提高。要解决这一问题，需要通过对换底公式的变形公式的探究及具体的例子，让学生自主探究，必要时给予适当引导，让学生学会分析问题，逐步掌握换底公式的应用.（3）学生对于应用题有一定的畏难情绪，因此在处理本课中的两道应用题时，采取第一道，教师引领的方式进行学习；第二道先让学生分组探究合作理解，再让学生讲解.从而让学生意识到，应用问题并不难解决，只要静下心来，慢慢读题，理解题意，就能很好的完成. （二）学情分析本节课的授课对象是高一年级的学生.从知识层面上看，学生在前面已经学习了等差数列的通项公式及性质,这些为本节课打下了知识基础;从思想方法层面说，学生对于倒序相加这种方法从未接触过，但此处证明采取的从特殊到一般的方法，学生通过前面的学习学生已经知道在解决有关对数问题时，涉及转化的思想，对于有特殊到一般地研究数学问题的模式也有所了解，这些都为本节学习和证明换底公式打下了思想上的基础;从学生情感层面上看,学生对于对数这个新知识，尤其感兴趣，本节的换底公式能解决学生对于对数应用的疑惑，增加学生学习的积极性.但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，教师对个别学生进行关注.教学难点：换底公式及其应用.四、教法分析本节课以问题为载体，采取讲授与探究相结合的方法，通过逐层深入的问题将学习内容逐步的呈现给学生，为学生提供动手做、动眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.让学生在解决问题的过程中探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增强应用意识和问题意识.五、教学过程（一）复习提问，导入新课活动一：问题1：对数的定义.问题2：指数与对数的关系.问题3：对数的运算性质.【设计意图】本节课需要利用指数对数的转化以及对数的性质来推导换底公式，以复习提问开场，让学生做好充分的知识准备，以便新课的探究和学习.活动二：问题：截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过年后人口总数为,则经过多少年后人口总数可达到18亿？【师生活动】学生针对问题，进行回答.同时，留下悬念. 【设计意图】利用前面讲过的人口增长模型为引例，设疑导入新课.让学生知道学习新知的必要性.（二）多元互动，探究新知问题1：已知 求【师生活动】学生投影展示解题过程,教师给与适当的评价和补充.【设计意图】本问题时作为课后思考题布置给学生的,希望学生们能在课下的独立思考和讨论中，得到不同的方法，扩展思维，同时也为下面的问题2和问题3的解决打下基础.问题2：根据问题1,如你能用含的对数式来表示吗？【师生活动】本问题让学生独立思考，教师巡视，对于有问题的给予个别辅导.最后同学口答出结果.【设计意图】问题1是问题2的特例，问题2将已知一般化，学生通过问题1的解题思路，可以很容易的知道可以用任意的一个大于零且不等于1的常数为底的3的对数与以为底的2的对数的商来表示，这样就更加接近换底公式的一般结论.问题3：通过问题1和问题2，能猜想到的更一般的结论是如何证明呢？【师生活动】全体同学一起猜想结论，教师给予肯定，然后思考如何证明，不同方法进行展示.【设计意图】有了问题1和问题2做铺垫，对于问题3的结论学生可以很自然的猜测到，并且证明过程也很容易得到.到了这步教师更是要启发学生展示不同的方法，从不同的角度去解决这个问题. 在从问题1到问题3的解决过程中，让学生体会如何从特殊到一般地猜想问题、证明问题.问题4：解决本课开始留下的问题,利用计算器计算的值.【师生活动】学生利用换底公式解决问题.【设计意图】与本课开始的设计呼应,新课的学习解决了遗留的问题,更让学生体会到学习换底公式的必要性.问题5:利用换底公式证明下面等式成立.【师生活动】虽然证明过程很简单，但对个别学生来说会稍有困难，所以有必要对学生进行适当的点拨.得出结论后，教师要针对公式本身进行一个剖析.【设计意图】对这两个等式进行证明，一来是通过证明加深学生对换底公式的理解，二来给出换底公式的两个变形结论，方便学生以后的学习.（三）应用新知，交流展示例1 求的值.变式 求的值.【师生活动】学生观察题目，思考交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数，解题方法不唯一，对于不同的方法进行投影展示.【设计意图】通过对例题的练习，让学生体会到换底公式及其推论在解决有关对数问题时的方便性,还要注意对其的灵活应用.例2 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.【师生活动】师生共同分析题目，学生列式子解题，并利用计算器计算对数，最后得出结论.【设计意图】1.在给出换底公式并应用其解决了简单的计算问题之后，给出例2，一道实际应用的问题，让学生感受到数学知识在实际生活中的应用；2.对学生进行科普教育，如半衰期的概念以及通过碳14含量推断古物的年代的方法；3.学生体会利用计算机或计算器计算对数，增强对数学习的实用性.例3 20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级,计算公式为.其中,是被测地震的最大振幅,是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.【师生活动】让学生分组去学习例3，教师在巡视的过程中，对个别同学进行辅导.在分组讨论后，请小组代表来讲解.最后，教师进行总结.【设计意图】在分组学习讨论的过程中，可以加强学生的沟通交流，让学生体会到学习成功的乐趣，同时教师给与适当的教育，使学生克服对应用题的畏难情绪.（四）归纳梳理，总结提升1.本节课学到了哪些知识？2.针对本节课，觉得自己哪些方面需要加强？【师生活动】：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指出本节课所经历的知识探究过程，强调对数换底公式在实际应用中的重要性.【设计意图】1.通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构.2.分析自己的表现，了解自己的长处和不足，以便今后改进,同时，提升情感、态度、价值观目标.（五）反馈练习 1.列各式的值(1)(2)【设计意图】两道简单的直接应用换底公式或其推论计算的题目，检测学生对换底公式的掌握和使用情况.（六）分层作业，夯实基础必做题：质量监测P49A组，选做题：P50页B组. 【设计意图】体现作业的巩固性和发展性原则，让不同的学生有不同的收获.天津市西青区 杨柳青第一中学 张波对数与对数运算-换底公式的教学反思本节教学内容是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修1第二章基本初等函数（I）中2.2.1节 对数与对数运算的第三课时换底公式。下面就本节课的设计和具体实施的情况做个分析比对。 第一个环节是“复习提问，导入新课”，通过一个人口问题设置一个疑问，让学生感受到学习新知的必要性。在上课过程中，这个问题达到了预设的效果。第二个环节是“多元互动，探究新知”，课前留下了思考问题1，学生很好的完成了，并且在课上做了展示，以此问题为契机，去探究问题2和问题3，最终得到了换底公式。在上课过程中，发现有些同学对于由具体到一般的证明过程还是有些问题的，在课下我也对个别同学又进行了有针对性的辅导。第三个环节是“应用新知，展示交流”，在这个环节展示两个推论的证明过程中，发现同学对换底公式的应用还不够灵活，针对展示中出现的问题，也进行了及时的纠正，这里处理的还是比较好的。在让学生去板书例1的过程中，应该对板书做个更好的引导，这样使得最后整个板书看起来比较拥挤不美观。在例2和例3的处理上，例2是教师引导然后学生自主完成，例3是学生分组学习然后代表展示，我认为对这两道比较难理解的应用题的处理还是很到位的，这样的处理让绝大部分同学都能很好的学习这两道题，也起到了一定的教育作用。但由于时间的限制，给同学自主学习或合作探究的时间还不够充分，而且有些同学仍然不能投入到小组探究中去，教师应更积极主动的去组织，在今后的教学中应注意这个问题。第四个环节是“归纳梳理，总结提升”，这个环节的本意是让