2014年上海高考数学文理科卷解析版

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数的最小正周期是_.考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期解答：解：函数的最小正周期为点评：本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题2. 若复数，其中是虚数单位，则_.考点：复数代数形式的乘除运算分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位点评：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_. 考点：椭圆的简单性质分析：由题设中的条件y2=2px（p0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p0）的焦点与椭圆故P=4抛物线的准线方程为x=-2故答案为：x=-2点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题4. 设 若，则的取值范围为_.考点：分段函数的应用；分析：可对a进行讨论，当a2时，当a=2时，当a2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围解答：解：当a2时，f（2）=24，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a2时，f（2）=22=4，符合题意；a2，故答案为：（-，2 点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题5. 若实数满足，则的最小值为_. 考点：基本不等式分析：由已知可得，代入要求的式子，由基本不等式可得解答得。得答案是点评：本题考查基本不等式，属基础题6. 若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为_（结果用反三角函数值表示）考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角解答：解：设圆锥母线与轴所成角为，圆锥的侧面积是底面积的3倍. 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示得点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键7. 已知曲线的极坐标方程为，则与极轴的交点到极点的距离是_. 考点：简单曲线的极坐标方程分析：由题意，=0，可得C与极轴的交点到极点的距离解答：解：由题意，=0，可得（3cos0-4sin0）=1，C与极轴的交点到极点的距离是点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键8. 设无穷等比数列的公比为，若，则_.考点：极限及其运算 分析：由已知条件推导出由此能求出q的值解答：解：无穷等比数列an的公比为q，点评：本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用9. 若，则满足的的取值范围是_. 考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可解答： 点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则 选择的天恰好为连续天的概率是_（结果用最简分数表示）. 考点：古典概型及其概率计算公式分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，选择的3天恰好为连续3天的概率是点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题11. 已知互异的复数满足，集合，则_. 考点：集合的相等分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论解答：解：根据集合相等的条件可知，ab0，a0且b0，即a=1，b=1，此时集合1，1不满足条件若b=a2，a=b2，则两式相减得a2-b2=b-a，互异的复数a，b，b-a0，即a+b=-1，故答案为：-1点评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论12. 设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则_. 考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可点评：本题主要考查了三角函数图象与性质运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题13. 某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分. 若，则小白得分的概率至少为_. 考点：离散型随机变量的期望与方差分析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1-x，由此能求出结果解答：解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1-x，某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，E（）=4.2，4（1-x）+5x=4.2，解得x=0.2故答案为：0.2点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用14. 已知曲线，直线. 若对于点，存在上的点和 上的使得，则的取值范围为_. 考点：直线与圆的位置关系分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可解答：解：曲线，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，故答案为：2，3点评：本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设，则“”是“且”的答（ ）(A) 充分条件.(B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b4，但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2，则必有a+b4，即必要性成立，故“a+b4”是“a2且b2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础16. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为答（ ）(A) .(B) .(C) .(D) .考点：平面向量数量积的运算分析：建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案解答：解：如图建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），P8（0，2，1），故选择A点评：本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段17. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于 和的方程组的解的情况是答（ ）(A) 无论如何，总是无解.(B) 无论如何，总有唯一解.(C) 存在，使之恰有两解.(D) 存在，使之有无穷多解.考点：一次函数的性质与图象分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可解答：因为与是直线（为常数）上且斜率存在。则 b2-b1得：（a2b1-a1b2）x=b2-b1，即（a2-a1）x=b2-b1方程组有唯一解18. 设 若是的最小值，则的取值范围为 答（ ）(A) .(B) .(C) .(D) .考点：分段函数的应用分析：当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，解不等式：a2-a-20，得-1a2，问题解决解答：解；当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，f（0）=a2，由题意得：解不等式：a2-a-20，得-1a2，0a2，故选：D点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图. 求的各边长及此三棱锥的体积.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积分析：利用侧面展开图三点共线，判断P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积由题得，三棱锥是正三棱锥侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形由题得，又三点恰好在构成的的三条边上，三棱锥是边长为2的正四面体如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于为中点，为的重心，底面，点评：本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数，函数.(1) 若，求函数的反函数；(2) 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.考点：反函数；函数奇偶性的判断分析：（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决解析：（1）由题得，（2） 且当时，对任意的都有，为偶函数当时，对任意的且都有，为奇函数当且时，定义域为，定义域不关于原定对称，为非奇非偶函数点评：本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米. 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和. (1) 设计中是铅垂方向. 若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）？(2) 施工完成后，与铅垂方向有偏差现在实测得，求的长（结果精确到米）.考点：解三角形的实际应用分析：（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论解析：（1）由题得，且，即，解得，米（2） 由题得，米，米点评：本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记. 若，则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线.(1) 求证：点被直线分割；(2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.考点：直线的一般式方程分析：（1）把A、B两点的坐标代入=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据0，得出结论（2）联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 （1-4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1-4k20，从而求得k的范围解答：证明：（1）由题得，被直线分隔。解：（2）由题得，直线与曲线无交点即无解或，证明：（理科）（3）由题得，设，化简得，点的轨迹方程为。当过原点的直线斜率存在时，设方程为。联立方程，。令，显然是开口朝上的二次函数由二次函数与幂函数的图像可得，必定有解，不符合题意，舍去当过原点的直线斜率不存在时，其方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。，符合题意综上所述，仅存在一条直线是的分割线。23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分. 已知数列满足，. (1) 若，求的取值范围；(2) 设是公比为的等比数列，. 若，求的取值范围；(3) 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.考点：等比数列的性质；数列的求和分析：（1）依题意：将已知代入求出x的范围； （2）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，ak的公差解答：（1）由题得，（理科）（2）由题得，且数列是等比数列，。又，当时，对恒成立，满足题意。当时，当时，由单调性可得，解得，当时，由单调性可得，解得，（理科）（3）由题得，且数列成等差数列，又，解得，的最大值为1999，此时公差为2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科）详解满分150分;考试时间120分钟一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的最小正周期是 考点：三角恒等变形、三角函数的周期解答：因为，所以.难度：容易题2若复数，其中是虚数单位，则 考点：复数的四则运算，共轭运算解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即难度：容易题3设常数，函数若，则 考点：解方程、求函数值解答：由难度：容易题4若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：难度：容易题5某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 考点：分层抽样解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。难度：容易题6若实数满足，则的最小值为 考点：基本不等式解答：，即难度：容易题7若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）考点：圆锥的侧面展开图解答：如图：难度：容易题8在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 考点：三视图解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.难度：容易题9设 若是的最小值，则的取值范围为 考点：函数的单调性及最值解答：难度：中等题10设无穷等比数列的公比为，若，则 考点：无穷等比数列各项的和解答：难度：中等题11若，则满足的的取值范围是 考点：幂函数的单调性解答：其定义域为又是增函数，是减函数，是增函数，又，即为，难度：中等题12方程在区间上的所有的解的和等于 考点：三角方程解答：难度：中等题13为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）考点：组合、概率解答：未来的连续天中随机选择天的所有情况有种；未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种；则所求概率为难度：中等题14已知曲线，直线若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 考点：圆的方程、能成立问题解答：曲线，即，点即为中点；设，则，点在曲线C上，难度：较难题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15设，则“”是“且”的（ ）(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件考点：充分条件、必要条件解答：必要非充分条件，选B难度：容易题16已知互异的复数满足，集合，则（ ）(A) (B) (C) (D) 考点：集合的相等、复数范围内1的立方根解答：若 则（舍）；若则，那么（舍）或（舍）或或综合上述，.选D难度：中等题17如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）(A) (B) (C) (D) 考点：向量的数量积、向量的投影解答：结合图形，观察在上的投影即可：在上的投影相同；在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的个数为3，选C难度：中等题18已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）(A) 无论如何，总是无解(B) 无论如何，总有唯一解(C) 存在，使之恰有两解(D) 存在，使之有无穷多解考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答：把代入直线得，即.同理可得.则是方程组的解.若不是方程组的唯一解，则方程组 有无数解则，与已知矛盾综上，方程组总有唯一解，选B.难度：较难题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积考点：棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意：是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体（如图）.设顶点在底面内的投影为，连接，则为的重心，底面.难度：容易题20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设常数，函数（1） 若，求函数的反函数；（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由考点：反函数、函数的奇偶性解答：（1）因为，所以，得或，且 因此，所求反函数为（2）当时，定义域为，故函数是偶函数； 当时，定义域为， ，故函数为奇函数； 当且时，定义域为关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数难度：容易题21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为