2020高中数学 3-1.2课后练习同步导学 北师大版选修1-2

第3章 1.2 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A三角形B梯形C平行四边形 D矩形解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.答案：C2已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可推知扇形面积公式S扇等于()A. B.C. D不可类比解析：我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r，S扇lr.答案：C3三角形的面积为S(abc)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()AVabcBVShCV(S1S2S2S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)DV(abbcac)h，(h为四面体的高)解析：ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，连结OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V(S1S2S3S4)r.答案：C4给出下列三个类比结论(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：正确答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 2，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为18.答案：186设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列解析：T4a14q6，a14q22，a14q38，a14q54.所以T4，成公比为q16的等比数列，直接用类比法将“差”变“比”即可得出结果答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A、B、C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解析：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .8就任一等差数列an，计算a7a10和a8a9，a10a40和a20a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题在等比数列中会有怎样的类似的结论？解析：设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，从而a7a16d，a10a19d，a8a17d，a9a18d.所以a7a102a115d，a8a92a115d，可得a7a10a8a9.同理a10a40a20a30.由此猜想，任一等差数列an，若m，n，p，qN且mnpq，则有amanapaq成立类比等差数列，可得等比数列an的性质：若m，n，p，qN且mnpq，则有amanapaq成立9(10分)三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解析：三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球答案：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且