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三角形中的最值问题 山东莘县观城中学 郭银生解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明： 例1要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ） A /4 B. /3 C. /6 D.正弦值是1/3的锐角 解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c，其一个锐角是，周长是L,则两个直角边是csin 和ccos，故 L=c+csin +ccos =c+1.414csin(+ /4 ) 0/2 当+ /4 =/2时，Lmax=c+1.414c 故选A 解法2.设两条直角边为a,b,周长为L，则斜边c=是定值。 L=a+b+=(+1) (当且仅当a=b时取等号)即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是 /4 从而选A.例2已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为 .方法.（三角函数的有界性）设该直角三角形的斜边是c，一个锐角是A，面积是S，则两条直角边是csinA和ccosA，根据题意csinA+ccosA+c=1,即c= S=csinA*ccosA=sin2A (当且仅当A=/4时取等号)把A=/4代入得c= S=*()=例3已知圆o的半径是R，在它的内接ABC中，有2R(sinA-sinC)=(a-b)sinB成立，求ABC的面积S的最大值。解：根据题意得： 2R(-)=(a-b)*化简可得 c=a+b-ab, 由余弦定理可得：C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135-A)=(sin(2A+45)+10A135 452A+45315 当2A+4590即A=15时，S取得最大值。点评：（1）.对三角形面积S的表达式得处理，也可利用积化和差公式，但这一公式在新教材中已不作要求。（2）.利用余弦定理或正弦定理化角为边体现了化归转化思想。例4在ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c, ABC的外接圆半径R=,且（1） 求B和b的值（2） 求ABC面积的最大值解：由已知，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosBA+B+C= sinA =2sinAcosBsinA0 cosB= B=60R=, b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9a+c-2accos 609ac= a+c2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)三角形得面积s=acsinB*9*sin60=三角形得面积的最大值是练习：ABC中，若AB=1,BC=2,则C的取值范围是 （答案：解法1
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