数学建模雨中行走

精选文库摘要夏天日益临近，天气情况也逐渐变幻莫测。我们常常遇到过这样的问题，我们走在大街上，突然下起大雨，目的地离我们不远，所以我们并不准备避雨。这是我们就遇到一个问题，是按照正常速度前行，还是大步奔跑地前进，以减少身上的淋雨量。按照常理，我们大多数人都会奔跑前行。但是，这样果真能够减少被淋湿的程度吗？1. 问题重述一个雨天，你有件急事需要从家中要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨时间。但如果考虑将与方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。2. 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最少。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。3. 模型假设即符号说明（1） 把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。淋浴总量用C升来记。（2） 降雨大小用降雨强度I（cm/h）来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视为一常量。（3） 风速保持不变。（4） 你一定速度v(m/s)跑完全程D米。4. 模型建立与计算（1） 不考虑雨的方向，此时你的前后左右和上下都将被淋雨。淋雨面积：S=2wh+2dh+wd（米2）雨中行走的时间：t=Dv （秒）降雨强度：I（厘米/时）=0.01I（米/时）=0.01I3600（米/秒）淋雨量：C=0.01ISt3600（米3）=10DIS3600（升）（模型中D，I，S为参数，而v为变量）结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。若取参数D=1000m, I=2cm/h, h=1.5m, w=0.5m, d=0.2m时，则有S=2.2m2 .若你在雨中行走的最大速度v=6m/s, 则计算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。从而可以计算被淋的雨水总量S=2.041升。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因是不考虑降雨的方向的假设，是问题过于简单化。（2） 考虑降雨方向，若记雨滴下速度为r（米/秒），雨滴的密度为，1，l表示在一定时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。 d w 雨滴下落的反方向 H,h v 人前进的方向所以，I=r因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量 C1 = Dwdr sinvD/v表示在雨中行走的时间，wd表示顶部面积, r sin表示雨滴垂直下落的速度。前表面淋雨量 C2= Dwh(cos+v)v总淋雨量（基本模型）C=C1+C2= wDv (drsin+h(rcos+v)取参数r=4m/s, I=36002cm/s, =1.3910-6 ，计算得C=6.9510-6v(0.8sin+6cos+1.5v)可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。这样问题转化为给定， 如何选择v，使得C最小。情形1 =90度 C=6.9510-4(0.8/v+1.5)结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时林雨量达到最小。假设你以6m/s的速度在雨中猛跑，则计算得C=11.310-4m3=1.13升情形2 =60度 C=6.9510-4(1.5+(43+3)/v)结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6m/s的速度在雨中猛跑，则计算得C=1.47升情形3 90180度时此时，雨滴将从后面向你身上落下。 C=6.9510-4(0.8sin+6cos)/v+1.5)令=+30度，则0rsin ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是Dwh(rsin-v)v淋浴总量为C=Dw(drcos+hv-rsin)v =Dw(dcos-rsin)/v+h/r)当dcos-rsin0, v尽可能大，C才可能小。当dcos-rsinrsin, 所以v要趋于rsin，C才可能最小。5. 结论若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑；若雨是