第3节-群的定义及性质

1,1、运算的定义：二元运算、一元运算2、运算规律：结合律、交换律、分配律、消去律3、特异元素：单位元、零元、逆元4、代数系统的定义,上一节内容回顾,2,群论,主要内容:群的定义与性质子群、生成子群变换群置换群循环群子群的陪集、正规子群与商群群的同态基本定理,3,群的定义群的基本性质群的实例群中的术语,第3节群的定义与性质,主要内容:,4,群的三个等价定义,定义1设(G,e)是幺半群，若G中的每个元素都有逆元，则称(G,e)是群.记作(G,)，有时简记为G.,定义0(1)设(S,)是一个代数系统，如果运算满足结合律，则称(S,)为一个半群.(2)设(S,)是半群，若eS是关于运算的单位元，则称(S,)是一个幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点(S,)记作(S,e).,5,群的三个等价定义,定义2设G是一个非空集合，“”是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称G关于乘法“”作成一个群.IG关于乘法“”封闭，即a,bG，abG；II乘法“”满足结合律，即a,b,cG(ab)c=a(bc)；IIIG关于乘法“”有一个左单位元e，即aG，存在元eG，使得ea=a；IV对于G的每个元素，关于乘法“”有一个左逆元，即aG，存在元bG，使得ba=e，其中e是III中的左单位元.,6,群的三个等价定义,定义2设G是一个非空集合，“”是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称G关于乘法“”作成一个群.I乘法“”满足结合律，即a,b,cG(ab)c=a(bc)；IIG关于乘法“”有一个左单位元e，即aG，存在元eG，使得ea=a；III对于G的每个元素，关于乘法“”有一个左逆元，即aG，存在元bG，使得ba=e，其中e是II中的左单位元.,7,定义3设G是一个非空集合，“”是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称G关于乘法“”作成一个群.IG关于乘法“”封闭，即a,bG，abG；II乘法“”满足结合律，即a,b,cG(ab)c=a(bc)；Va,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解.,群的三个等价定义,8,定义3设G是一个非空集合，“”是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列两个条件成立，则称G关于乘法“”作成一个群.I乘法“”满足结合律，即a,b,cG(ab)c=a(bc)；IVa,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解.,群的三个等价定义,9,群的性质,性质1设(G,)为群，则aG，a的左逆元也是a的右逆元.,性质2设(G,)为群，则G的左单位元e也是右单位元.,性质3设(G,)为群，则a,bG，方程ax=b和ya=b在G中的解惟一.,性质5设(G,)为群，则(1)aG，(a1)1=a；(2)a,bG，(ab)1=b1a1.,性质4群(G,)中的乘法满足消去律，即a,b,cG有(1)若ab=ac，则b=c.(左消去律)(2)若ba=ca，则b=c.(右消去律),10,线性空间的定义,设V是一个非空集合，P是一个域。若：1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素与都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素+，称为与的和。2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素k，称为k与的积。,11,线性空间的定义,3.加法与纯量乘法满足以下条件：1)+=+，对任意，V.2)+(+)=(+)+，对任意，V.3)存在一个元素0V，对一切V有+0=，元素0称为V的零元.4)对任一V，都存在V使+=0，称为的负元素，记为-.5)对P中单位元1，有1=(V).6)对任意k，lP，V有(kl)=k(l).7)对任意k，lP，V有(k+l)=k+l.8)对任意kP，V有k(+)=k+k，则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。,12,例2设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群.,群的实例,特征：1.满足交换律2.每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素,例1(Z,+)、(R,+)、(Zn,)、(P(A),)是群.n阶(n2)实可逆矩阵集合Mn关于矩阵乘法构成群.,13,群的性质：例题,例3设群G=(P(a,b),)，其中为对称差.解下列群方程aX=，Ya,b=b.解:X=a1=a=a，Y=ba,b1=ba,b=a,14,有关群的术语,定义4(1)称群(G,)是有限群，若G是有限集。G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|.(2)称群(G,)是无限群，若G是无限集.(3)若群(G,)中的二元运算满足交换律，则称(G,)为交换群或阿贝尔(Abel)群.,实例：(Z,+)和(R,+)是无限群;(Zn,)是有限群，也是n阶群.Klein四元群是4阶群.上述群都是交换群，n阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.,15,群的性质：例题,例4设G=a1,a2,an是n阶群，令aiG=aiaj|j=1,2,n证明：aiG=G.证明：由群中运算的封闭性有aiGG.假设aiGG，即|aiG|n.必有aj,akG使得aiaj=aiak（jk）由消去律得aj=ak,与|G|=n矛盾.,16,定义5设G是群，aG，nZ，则a的n次幂:,群中元素的幂,注：群中元素可以定义负整数次幂.在(Z3,)中有23=(21)3=13=111=0或23=(23)-1=(222)-1=0-1=0在(Z,+)中有(2)3=(-2)-1)3=23=2+2+2=6或(2)3=(-2)3)-1=(-2)+(-2)+(-2)-1=(-6)-1=6,17,群的性质：幂运算规则,性质6设G为群，则G中的幂运算满足：(1)aG，anam=an+m，n,mZ(2)aG，(an)m=anm，n,mZ(3)若G为交换群，则(ab)n=anbn.,18,元素的阶,定义6设G是群，aG，使得等式ak=e成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|=k，称a为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元.,例如，在(Z6,)中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元.在(Z,+)中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.,19,群的性质：元素的阶,证明：(1)充分性.由于r|k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=(ar)m=em=e.必要性.根据除法，存在整数m和i使得k=mr+i,0ir1从而有e=ak=amr+i=(ar)mai=eai=ai因为|a|=r，必有i=0.这就证明了r|k.,性质7G为群，aG且|a|=r.设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r|k.(2)|a1|=|a|.,20,群的性质：元素的阶,证明：(2)由(a1)r=(ar)1=e1=e可知a1的阶为有限.令|a1|=t，从而有t|r.同时，at=(a-1)-1)t=(a-1)-t=(a-1)t)-1=e-1=e，所以r|t.从而证明了r=t，即|a1|=|a|.,性质7G为群，aG且|a|=r.设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r|k.(2)|a1|=|a|.,21,实例,例5设G是群，a,bG是有限阶元.证明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|,(1)证明1:设|a|=r，则有可知b1ab的阶为有限.令|b1ab|=t，从而有t|r.另一方面，由a=(b1)1(b1ab)b1可知at=(b1)1(b1ab)b1)t=(b1)1(b1ab)tb1=e从而有r|t.因此|b1ab|=|a|.,22,实例,例5设G是群，a,bG是有限阶元.证明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|,(1)证明2:设|a|=r，则有可知b1ab的阶为有限.令|b1ab|=t，从而有t|r.另一方面，由(b1ab)t=e可知(b1ab)t=b1atb1=eat=e，从而有r|t.因此|b1ab|=|a|.,23,实例,(2)证明1：|b1(ba)b|=|ba|=|ab|.证明2：若|ba|=|ab|=,则显然成立.若|ba|或|ab|，则不失一般性不妨假设|ba|.令|ba|=t,则由消去律得(ab)t=e，可知ab的阶为有限.设|ab|=r,从而可知，r|t.同理可证t|r.因此|ab|=|ba|.,24,实例,(2)证明3：若|ba|