【状元之路】2020届高中数学 平面向量6-5 文 大纲人教版

对应学生书P217一、选择题1(2020福建)已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为()A75B60C45D30解析：SABC34sinC3，sinC.ABC是锐角三角形，C60.答案：B2(2020广东)已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若ac，且A75，则b等于()A2 B42C42 D.解析：如图所示在ABC中，由正弦定理，得4，b2.答案：A3若ABC的三边分别为a、b、c且满足b2ac,2bac，则此三角形是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析：2bac，4b2(ac)2，即(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.答案：D4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果ca，B30，那么角C等于()A120 B105 C90 D75解析：ca，sinCsinAsin(18030C)sin(30C)(sinCcosC)，即sinCcosC.tanC.又C(0，)，C120.答案：A5若ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且cos2B3cos(AC)20，b，则csinC等于()A31 B.1 C.1 D21解析：cos2B3cos(AC)22cos2B3cosB10，cosB，或cosB1(舍去)B.2.答案：D6若ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于()A. B. C.或 D.或解析：，sinC.C60或120.当C60时，A90，BC2，此时，SABC；当C120时，A30，SABC1sin30.答案：D二、填空题7(2020湖南)在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为_解析：如图，.又B2A，.2，AC2cosA.在锐角ABC中，B2A，0A.又CAB3A，03A，即A.A，cosA.AC2cosA(，)答案：2(，)8(2020天津)如图，AA1与BB1相交于点O，ABA1B1，且ABA1B1.若AOB的外接圆的直径为1，则A1OB1的外接圆的直径为_解析：由于ABA1B1，则有AOBA1OB1，且对应边的比为12，那么两三角形对应的各线之比均为12，则对应的外接圆的直径之比也是12，故A1OB1的外接圆直径为2.答案：29在ABC中，BC1，B，当ABC的面积等于时，tanC_.解析：SABCacsinB，c4.由余弦定理，得b2a2c22accosB13.cosC，sinC.tanC2.答案：2三、解答题10(2020辽宁)在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinBsinC的最大值解析：(1)由已知，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c.即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosA.所以cosA，故A120.(2)由(1)得sinBsinCsinBsin(60B)cosBsinBsin(60B)故当B30时，sinBsinC取得最大值1.11(2020安徽)设ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对边长，并且sin2Asinsinsin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bc)解析：(1)sin2Asin2Bcos2Bsin2Bsin2B，sinA.又A为锐角，故A.(2)由12，可得cbcosA12.由(1)知，A，从而cb24.由余弦定理知，a2c2b22cbcosA，将a2及代入，得c2b252.2，得(cb)2100，于是cb10.因此c，b是一元二次方程t210t240的两个根，解此方程并由cb知，c6，b4.12(2020全国)已知ABC的内角A、B及其对边a、b满足abacotAbcotB，求内角C.解析：方法一：abacotAbcotB，且2R(R为ABC的外接圆半径)，sinAsinBcosAcosB.sinAcosAcosBsinB.1sin2A1sin2B.sin2Asin2B0.又sin2Asin2B2cos(AB)sin(AB)cos(AB)sin(AB)0.cos(AB)0，或sin(AB)0.又A、B为三角形的内角，AB，或AB.当AB时，C；当AB时，由已知，得cotA1，从而AB，得C.综上，可知内角C.方法二：由abacotAbcotB及正弦定理，得sinAsinBcosAcosB，sinAcosAcosBsinB.从而sinAcoscosAsincosBsinsinBcos，sinsin.又0AB，故AB，AB，得C.13(2020浙江)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC时，求b及c的长解析：(1)cos2C12sin2C，0C，sinC.(2)当a2,2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1及0C，得cosC.由余弦定理c2a2b22abcosC，得b2b120(b0)，解得b或2.或14(2020陕西)如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解析：由题意，知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，于是DB1