宽进严出台阶分明的湖北卷

宽进严出台阶分明的湖北卷今年高考结束后，湖北地区的考生对数学卷的反映普遍良好.武汉市的多家媒体报道的主调是“数学平和”. 这与过去历届多数考生对数学试卷的畏难情绪形成鲜明对比. “平和”的实际意义是：不论什么样的考生都能够“宽进”，能够“试一烙铁”，因而应考的信心平添了几分，考试时心态不再紧张，能够比较从容地答完全卷，也就能够比较真实地反映考生的实际水平.此外，许多老师反映，尽管“试卷平和”，但考核知识全面、重点突出、层次分明.且不乏思维深刻且区分度高的好题，既能够较好地考察教学质量，又有利于高等学校选拔人才.这就是说，今年高考数学的湖北卷，在实情检验、教学考核、人才选拔三个主要方面都得到良好的评价，这是很不容易的.（一）这份试卷具有较好的区分度虽然这份试卷的许多试题考生都容易上手，但最终效果如何却是大不一样的.即使做得正确，付出的代价也大不一样.此外，还有少数题的确“高难”，只有功底、能力相当强的考生才能解决.区分度主要表现在：. （1）有些试题是名副其实的考察基础知识，甚至可以 “一望而答”的.【例1】（理科第1题）如果的展开式中含有非零常数项，则自然数n的最小值为 （ ）A.3 B.5 C.6 D.10对于这题，考生只要掌握了：常数项就是字母的指数为零的项，题中第1项字母的指数是2，第2项字母的指数是-3，而2与3的最小公倍数是6，可知n=3+2=5，故选B.【例2】（理科第3题）设P和Q是两个集合，定义集合P-Q=，如果P=x|log2x1,Q=x|x-2|1,那么P-Q等于 （ ）Ax|0x1 B.x|0x1 C.x|1x2 D.x|2x0,b0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2.C1和C2的一个交点为M，则等于 （ ）A.-1 B.1 C. D. 【分析】 “别人猜题我猜人”，设计这两个奇怪的比值，命题人是怎样想的？如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作 ，令. 第一猜： 的含义是什么？点M在抛物线上，这就是说：的实质是离心率e.第二猜：与离心率e有什么关系？注意到：. 第三猜：最后的答案是什么？由于.故答案应该是A.【例13】（理科第19题）在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于A、B两点.（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）【分析】1按照常识，当且仅当点C为AB中点时ANB面积的最值.在x2=2px(p0)中，令y=p，则，此时.可得.所以我们第一猜：ANB面积的最小值是（2）垂直于y轴的直线必平行于x轴，如果有题设的性质，所以我们第二猜：它可能是抛物线的焦点弦所在直线.既然线段AC是圆的直径，那么选用圆的直径式方程计算教为简便.当AB平行于x轴时，G必有，故解题的对策是求之值.【解析】（1）由条件知有N（0，-p），设直线AB：，代入抛物线方程：.由于0，此方程必有相异2实根，分别设为，那么：，.当且仅当k=0时，.（2）设点A的坐标为，则以AC为直径的方程是：假定存在直线满足所设条件，x轴，设l：代入（1），整理得：设弦两端分别为：，那么.，注意到，当且仅当p=2a时，为定植.此时显然符合题设条件.故存在直线l：，也就是抛物线x2=2py(p0)的准线满足题设条件.【例14】（理科第20题）已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.（）用a表示b，并求b的最大值；（）求证：f(x) g(x) (x0).【分析】本题方向已经明确，只须研究解题对策.（1） 函数图象中与切线有关的问题应当通过求导解决；使“切线相同”的对策是：分别求f(x)与g(x)的导数并令其相等（做到斜率相同）；（2） 两函数的公共定义域为x0.证明f(x) g(x) 的对策是：构造函数T（x）=f（x）-g（x）并证明T（x）0【解析】（1）：.已知a0，且g(x)要求x0，故取令f（a） =g(a)，即即为所求. （2）视b为关于a的函数，那么.a0，当1-3lna0即时b为关于a的增函数；当1-3ln-1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知，求证，m=1,1,2，n；（）求出满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论.本题第（）问不难，但第（）问却令人相当棘手.我们猜想：第（）问是否可以利用第（）问的结论？第（）问更难，是否又可以利用第（）问的结论？解题实践证明：这个猜想是对的.【解析】（）略（）且知令则.，即（注：这是利用第（）问的前提条件）根据（），.但时，仍有，.（注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）（）当时，直接验算：显然n=2符合条件：n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，n=3也符合条件.n=4时，左边=，而右边=.注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，n=4不符合条件.n=5时，左边=，而右边=.注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，n=5也不符合条件.故当时，n=2或3.（注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）当n6时，假定存在使得成立，则有：但是：=.根据（），右式（1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的正整数.（注：当时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.）综上，适合该等式的所有正整数只有2与3. （四）对试卷的意见和建议今年高考结束之后，华中师大的“数学通讯”网站对数学湖北卷展开了比较热烈的讨论.大家除肯定该卷能够深受本地区考生的欢迎以外，也提出了不少中肯的意见：（1）陈题过多.据反映：选择题的7、8、9、10都是陈题，或略作改编的陈题.例如第10题虽然是相当不错的好题，但考试前已散见于各种资料中，其中有代表性的是06年7月出版的数学通讯特刊第13套8题.该题是：已知直线与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 （ ）A.66条 B. 72条 C.74条 D.78条面对着市场上多如牛毛的教辅资料，要求命题人完全回避也难，但是，为了确保高考竞争的公平性，对各地备考中涌现出来的好题，这种“巧合”之处还是少一些为好. （2）第21题第一问没有必要限制用数学归纳法去证，用二项式定理证明可能更为简单.还有老师认为：本题既可用导数来证也可用几何平均数不大于算术平均数来证，基本上一步就可解决问题.还有老师提到，这个不等式的名称叫做贝努利不等式，有几十种证法.既如此，限制用数学归纳法去证就没有