高中数学总复习教学案10F：空间距离与角（通用）

高中数学总复习教学案10.6 空间距离与角 新课标要求以棱柱、棱锥特别是长方体为载体，通过直观感知、操作确认直观认识和理解体会空间的点、线、面之间位置关系，抽象出空间点、线、面之间位置关系的定义。能用综合法、向量法解决空间线线、线面、面面的夹角与距离的计算问题。重点难点聚焦在几何体中考查线线、线面、面面的平行与垂直关系是重点，而有关线线角、线面角、二面角的求解是重中之重。难点是二面角的求法。熟练应用定义法、转化法求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的大小，求各种距离，特别是求点到平面距离。高考分析及预策 高考中常以棱柱、棱锥为载体，来考查空间角与距离的有关问题。实质上各种距离与角之间具有一定的相互转化关系，特别是点面距，它是求线面距和面面距的基础。求点面距在高考中经常涉及到的方法有直接法、等体积转换、向量法等。空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考，是高考的热点。线线角的求解是角度问题中的重点，找二面角的平面角是难点。09预测对常见模型进行适当修改，考查形式是以柱体、锥体为载体的有关的探索性、开放性和应用性问题。题组设计再现型题组 1(03年北京春季高考题) 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点将ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 （ ）A90B60C45D02已知PA、PB、PC是三棱锥P-ABC的三条棱， PA=PB=PC，且PA，PB，PC夹角都是60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 （ ）A B C D3设P是的二面角内一点，PA平面，PB平面 ，A、B为垂足，则AB的长为 （ ） （A） （B） （C） （D）4.（04年高考全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点之间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为 （ ） (A) (B) (C) (D) 巩固型题组第5题图5已知所在的平面互相垂直，且，求：直线AD与平面BCD所成角的大小； 直线AD与直线BC所成角的大小；二面角A-BD-C的余弦值 第6题图6如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点、GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求：点B到平面EFG的距离. 提高型题组BDPCA7.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。 反馈型题组8.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为 （ ）A. B. C. D.19、在30的二面角a-l-b中，Pa，PQb，垂足为Q，PQ=2a，则点Q到平面a的距离为 。10设PARtABC所在的平面，BAC=90PB、PC分别与成45和30角，PA=2，则PA与BC的距离是 ；点P到BC的距离是 . 11.如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。第9题图12. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面底面与是否相互垂直，请证明你的结论；求二面角的大小；求证：平面平面 第12题图 13.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值 第13题图14如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形， SD垂直于底面ABCD，SB= （1）求证BCSC； （2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的 大小 10.6 空间距离与角（解答部分）再现型题组 【提示或答案】B【基础知识聚焦】平面图形转化为空间图形，利用平移法紧扣定义求异面直线之间的夹角【提示或答案】 D【基础知识聚焦】求空间角先证后算，关键将空间的角和距离转化为平面上的角。本题紧扣线面角的定义，将所求量置于一个三角形内，通过解三角形最终得到所求。也可利用公式cos=coscos,其中是直线PC与平面PAB所成角，是面内直线PA与PC的射影所成的角，=BPA. 3.【提示或答案】C 【基础知识聚焦】用垂面法将二面角图形化，因四点共圆对角互补，由余弦定理求之 4.【提示或答案】B【基础知识聚焦】本题利用球面距离概念，弧长公式，转化为直角三棱锥内接于球体，用等体积转化发求距离。第5题图巩固型题组 5. 【解法】如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90 过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC的余弦值的大小为【点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图） 特别地 时，；时， ，或。用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，利用三垂线定理证，利用对称性定义法作二面角。第5题变式图【变式与拓展】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影.求PB与平面BCD所成角；.求BP与平面PCD所成的角.【解法】. PD平面BCD，BD是PB在平面BCD内的射影，PBD为PB与平面BCD所成角,BDBC，由三垂线定理得BCBD，BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD=a在RtBPD中，cosDBP= DBP=45, 即PB与平面BCD所成角为45.过B作BECD于E，连结PE，PD平面BCD得PDBE，BE平面PCD，BPE为BP与平面PCD所成的角,在RtBEP中，BE=a, BP=a,BPE=30 即BP与平面PCD所成角为306.【解法一】直接作出所求之距离如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交的延长线于M， 连 结GM，作BNBC，交GM于N，则有BNCG，BN平面ABCD作BPEM，交EM于P，易证平面BPN平面EFG作BQPN，垂足为Q，则BQ平面EFG于 是BQ是点B到平面EFG的距离易知BN，BP，PZ，由BQPNPBBN，得BQ 图1 图2 一、不直接作出所求之距离，间接求之利用二面角的平面角 课本42第4题，46第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”如图2，二面角M-CD-N的大小为，AM，ABCD，AB，点到平面的距离AO，则有asin中的也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角图4图3【解法二】如图3，过B作BPEF，交FE的延长线于，易知BP，这就是点到二面角C-EF-G的棱EF的距离连结AC交EF于H，连结GH，易证GHC就是二面角C-EF-G的平面角 GC2，AC4，AH， CH3，GH，sinGHC，于是由得所求之距离BPsinGHC 解略 利用斜线和平面所成的角 如图4,为平面的一条斜线，与所成的角为，到平面的距离为，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有经过与垂直的平面与相交，交线与所成的锐角就是中的，这里并不强求要作出点在上的射影，连结得 【解法三】如图5，设为与的延长线的交点，作，为垂足又，易得平面平面，为它们的交线，所以就是与平面所成的角由，可得，在中，所以/，于是由得所求之距离 图5 图6利用三棱锥的体积公式【解法四】如图6，设点到平面的距离为，则三棱锥-的体积另一方面又可得这个三棱锥的体积，可求得，所以有3，得二、不经过该点间接确定点到平面的距离.利用直线到平面的距离确定【解法五】如图7，易证平面，所以上任意一点到平面的距离就是点到平面的距离由对称思想可知，取中点，求点到平面的距离较简单交于，交于易证平面平面，作，为垂足，为所求之距离图7 图8利用平行平面间的距离确定如图8，把平面补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗面是正四棱柱-经过、的截面所在的平面交于，交于，作，交于，连结，则有平面平面它们之间的距离就是所求之距离于是可以把点平移到平面上任何一个位置，哪里方便就在哪里求 这两个平行平面的距离又同三棱柱-的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离据此可得解法【解法六】三棱柱-的体积，另一方面又有BN，可求得BN，所以，得为所求之距离【点评】举一反三，利用直接法，以及点点距、点面距、线面距、面面距的互相转化，间接法确定其距离.同时掌握线面角与二面角与距离的关系。第6题变式图【变式与拓展】已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，求证：；求点到平面的距离；设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长【解法】证明：作于，连接，平面，平面，解：作于，平面，是点到平面的距离，由（1）知，点到平面的距离为连接，与平面所成的角为，为正三角形，是中点，是中点，【点评】：求点到平面的距离关键是寻找点到的垂线段提高型题组7.解析1.定义法 过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可。BDPCA解析一BDPCA解析三EFGBDPCA解析二【解法一】过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。在四棱锥P-ABCD中， PA 平面ABCD且ABCD为矩形，ADDCPDDCPA=a，AD=BC=2a，PD=,PC=,DE=,CE=同理在RtPBC中，在RtEFC中,FC=, 在RtDFC中,DF=,在DEF中由余弦定理cos=所求二面角B-PC-D的余弦值为 解析2.垂面法易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN相交与A得PC 面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。【解法二】略解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F，显然PF 面PDC，在面PCE内，过E作EG PC于G，连接GF，由三垂线得GF PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可。BDPCA解析四解析4.在面PDC内，分别过D、B作DE PC于E，BF PC于F，连接EF即可。利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可。【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：（1）定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析（2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析（3）垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：直接利用定义，图(1).利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。作棱的垂面，图(3).AOBMNababAOPABOPab (1) (2) (3)课堂小结空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的。平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况；几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步；向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。各种距离之间具有一定的相互转化关系，特别是点面距，它是求线面距和面面距的基础，要熟练掌握。求点面距在高考中经常涉及到的方法有等体积转换、向量法等，当然如果能将距离作出来，然后利用解三角形的知识解决，也是一种很好的思路。反馈型题组8.D 9. 10. 第11题图11.【解法一】：以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D1(0,3,2)、E (3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),于是=(1,3,2).=(-4,2,2) 设EC1与FD1所成的角为，则： 直线与所成的角的余弦值为【解法二】：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1/E1E, D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形。则E1D1/EC1.于是E1D1F为直线与所成的角。在RtBE1F中，.在RtD1DE1中, 在RtD1DF中,在E1FD1中,由余弦定理得：直线与所成的角的余弦值为.【点评】：思路一：用向量法求解，建立空间直角坐标系，把与所成角看作向量与的夹角，思路二：平移线段C1E让C1与D1重合。转