高三数学数列部分复习专题（一）（理）人教实验版（B）

高三数学数列部分复习专题（一）高三数学数列部分复习专题（一） （理）（理）人教实验版（人教实验版（B B） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 数列部分复习专题（一） 二. 教学目的： 1、数列部分易混知识点简析 2、本章典型例题分析 三. 知识分析 （一）本章知识网络 数列： 1. 数列概念 ) 1n(SS ) 1n(S a:n aaaS:n : )Nn)(n(fa: : : 1nn 1 n n21n * n 项和的关系数列的通项与前 项和数列的前 法列表法、图象法、解析数列的表示 数列的通项公式 有穷数列、无穷数列数列的分类 数叫做数列按一定次序排成的一列数列的定义 2. 等差数列：)Nn,d(daa * n1n 为常数 3. 等比数列：)Nn,q(q a a * n 1n 为常数 4. 数列求和 数列求和适用于正负交替出现的并项法 列求和 的数有共同特征的两项之差适用于每一项都能拆成裂项相消法 新数列求和 成的比数列的对应项之积构适用于由等差数列和等错位相减法 列求和项之和构成新的特殊数适用于特征为首尾对称倒序相加法 等比数列的数列求和适用于拆项后成等差或拆项分组法 列求和数列及其他一些特殊数适用于等差数列、等比公式法 : : : : : : 5. 数列最值问题 的最值问题 的最值问题 n n a S 6. 数列与函数：数列是一类特殊的函数 7. 数列的应用建模：利用数列解决实际问题 （二）本章易混知识点 易混点一：数列与集合 数列 集合 定义 按一定次序排列的一列数 某些指定对象的全体 有序性 数列与顺序有关，元素顺序不同则 为不同数列 与顺序无关，元素相同而顺序不同 仍为相同集合 互异性 同一数列中可以有相同元素 元素各不相同，不能重复 表示形式 解析法、列表法、图象法 列举法、描述法、图示法 易混点二：等差数列与等比数列 等差数列等比数列 定义 daa n1n q a a n 1n 通项公式 d)mn(ad) 1n(aa m1n mn m 1n 1n qaqaa 公差公比 mn aa 1n aa d mn1n m nmn 1 n1n a a q; a a q 前 n 项和 公式 d 2 ) 1n(n na 2 )aa (n S 1 n1 n ) 1q(naS ) 1q( q1 qaa ) 1q( q1 )q1 (a S 1n n1 n 1 n 等差等比 中项2 ba A )0ba (abG 性质 qpnm aaaa qpnm 则 qpnm aaaa qpnm 则 易混点三：项与通项 数列的通项是通项公式的简称，它是表示数列中的各项的通式，是函数解析式；而数 列的项是指整个数列中的某一或某几项，是组成数列的各个元素，是函数值。 易混点四：数列与函数 函数是非空数集到非空数集的映射，其定义域可以是实数集 R 或 R 的有限子集；而数 列是特殊的函数，其定义域是正整数集或正整数集的有限子集。 函数的图象可以是平滑的连续的曲线也可以是间断的点；而数列的图象是一系列不连 续的点。 【典型例题典型例题】 例 1. 已知 a1，a2，a3，ak是有限项等差数列，且，17aaa 1074 ，若，则 k 的值是77aaaaaaaaaaa 1413121110987654 13ak _。 剖析：剖析：本小题主要考查等差数列的通项及性质。 答案：答案：18 解析：解析：a1，a2，a3，ak成等差数列 由 a4+a7+a10=17 可知 3 17 a7 由77aaaaaaaaaaa 1413121110987654 可知7 11 77 a9 令等差数列公差为 d，则有 d8a7 d6a 3 17 1 1 3 5 a, 3 2 d 1 由13d) 1k(a1 即，得13 3 2 ) 1k( 3 5 18k 点悟：要注意灵活运用等差中项性质解题。 例 2. 等差数列的前 n 项和记为 Sn。已知。 n a50a,30a 2010 （1）求通项； n a （2）若，求 n。242Sn 剖析：剖析：要求，只要利用求出基本量 a1，d 即可，求出 a1，d 就能表 n a50a,30a 2010 示出 Sn，再解方程求出 n。 解析：解析：（1）由50a,30a, d) 1n(aa 20101n 得方程组 50d19a 30d9a 1 1 解得2d,12a1 10n2an （2）由242S, d 2 ) 1n(n naS n1n 得方程2422 2 ) 1n(n n12 解得 n=11，或 n（舍去）22 点悟：点悟：在等差数列中，已知五个基本量中，知三求二，数列的基本运算 nn1 S,a, n, d,a 实质是基本量的运算。要注意方程思想的应用。 例 3. 在等比数列中，求 an。 n a 2 1 a , 4a 52 剖析：剖析：利用等比数列通项公式，列出关于 a1，q 的方程组求出 a1，q，另外可用 求出 q。从而。 3 25 qaa 2n 2n qaa 解析：解法一：解析：解法一：由已知，有 2 1 a, 4a 52 由 2 1 qa 4qa 4 1 1 得 2 1 q, 8a1 1n n 2 1 8a 即 4n n n 2 1 ) 1(a 解法二：解法二：由已知 3 25 qaa 则 8 1 4 2 1 a a q 2 53 2 1 q 4n n 2n 2 2n 2n 2n 2 1 ) 1( 2 1 )2( 2 1 4qaa 点悟：点悟：解法二中要注意符号，求出通项后要验证，否则出现错误。 例 4. （1）在等差数列中，若，则的值是 n a150aaaaa 76543 82 aa _。 剖析：剖析：利用等差数列性质，m，n，p，且，则 * Nqqpnm 。 qpnm aaaa 答案：答案：60 解析：解析： 8256473 aaa2aaaa 150aaaaa 76543 150a5 5 即30a5 60302a2aa 582 （2）若为等差数列，则_。|a| n 27a,18a 6015 75 a 剖析：剖析：若an为等差数列，则组成公差为 md 的等差数)Nm, k(,a,a,a * m2kmkk 列。另外也可用变形公式来解。d)mn(aa mn 答案：答案：30 解析：解法一：解析：解法一：an为等差数列 仍成等差数列，且公差为 d 7560453015 a,a,a,a,a 3 3 1827 3 aa dd3aa 1560 1560 30327daa 6075 解法二：解法二：设 an的公差为 d，则d451827d45aa 1560 30327d15aa 5 1 d 6075 （3）设数列an、bn都是等差数列，且，那么由100ba,70b,20a 2211 所组成的数列的第 37 项的值为_。 nn ba 剖析：剖析：若an、bn都是等差数列，则仍为等差数列。 nn ba 答案：答案：450 解析：解析：数列an，bn都是等差数列 数列也成等差数列，设公差为 d nn ba 而100ba,907020ba 2211 450803710ba 37ba 80n10d) 1n()ba (ba 1090100)ba ()ba (d 3737 nn 11nn 1122 项的值为的第数列 点悟：点悟：利用等差数列性质解题，能达到事半功倍的效果。 例 5. （1）已知是等比数列，且，那么 a3+a5的值 n a25aaaa2aa, 0a 645342n 等于_。 （2）等比数列中，若，则此数列前 17 项之积为_。 n a2a9 （3）在等比数列中，若，则 a10=_。162a, 2a 62 （4）在等比数列中，若，则的值是 n a24aaa, 3aaa 876543 11109 aaa _。 剖析：剖析：利用等比数列性质，若，则qpnm qpnm aaaa 若为等比数列，则，仍成等比数列 n a n2mnmm a,a,a 解析：解析：（1）由等比数列性质 2 564 2 342 aaa,aaa 把25aaa2a25aaaa2aa 2 553 2 3645342 化为 5aa0a 25)aa ( 53n 2 53 （2）由题意得： 9153162171171615321 a)aa ()aa ()aa (aaaaaa 17 1717 9 9 2 9 2 9 2 )2(a aaa （3）等比数列，a2，a6，a10仍成等比数列 n a 102 2 6 aaa 13122 2 162 a a a 2 2 2 6 10 （4）为等比数列 n a 仍成等比数列 11109876543 aaa,aaa,aaa 此数列公式8 3 24 aaa aaa q 543 876 192824q)aaa (aaa 87611109 点悟：点悟：巧用等比数列性质，减少运算量。 例 6. 等差数列中，问数列前多少项之和最大，并求此最大值。 n a 9171 SS,25a 剖析：剖析：本题考查等差数列的前 n 项和公式及函数与不等式的方法解决数列 Sn最值问题。 解析：解法一：解析：解法一： 917 1 SS 25a 则2d, d 2 89 a9d 2 1617 a17 11 从而169)13n()2( 2 ) 1n(n n25S 2 n 故前 13 项之和最大，最大值是 169 解法二：解法二：如图所示，)0d(n 2 d an 2 d S 1 2 n 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为。 n S 2 179 解法三：解法三：由，知此数列必递减，且 1791 SS,25a0aaaa 17121110 又由等差数列性质有 16111710 aaaa 0)aa (4 1413 数列递减， 1413 aa 1413 a0a 故此数列前 13 项和最大 13 S 解法四：解法四：同解法一求得2d 由且得：0an0a 1n 13n 2 27 n 2 25 0)2(n25 0)2() 1n(25 故此数列前 13 项和 S13最大 点悟：点悟：（1）数列是特殊的函数，上述解法中解法一、解法二两种思路均是转化为函数 中求最值的方法，即利用单调性、配凑法转化为二次函数以及数形结合等； （2）对于等差数列当且为递减数列时，前 n 项和 Sn有最大值；当且为递0a10a1 增数列时，前 n 项和 Sn有最小值。 例 7. 设等比数列的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若成等差数列，则 q 的 n a 2nn1n S,S,S 值为_。 剖析：剖析：本小题考查等差与等比数列的综合应用。 答案：答案：2q 解析：解析：当 q=1 时， 1n naS 2n1nn SSS2 即 111 a )2n(a ) 1n(na2 )(0a1舍 当，时1q q1 )q1 (a S n 1 n q1 )q1 (a q1 )q1 (a q1 )q1 (a2 2n 1 1n 1 n 1 即02qq2 或 1（舍）2q 2q 点悟：点悟：熟练掌握数列的基本概念、公式是本题的关键。 例 8. 在圆内，过点有条弦，它们的长构成等差数列，若x5yx 22 2 3 , 2 5 )Nn(n * 为过该点最短弦的长，为过该点最长弦的长，公差，那么 n 的值是（ 1 a n a 3 1 , 5 1 d ） A. 2B. 3C. 4D. 5 剖析：剖析：本题考查圆的弦以及数列的有关性质，是数列与解析几何的综合问题。 答案：答案：D 解析：解析：过点最长的弦为直径 5 2 2 2 22 2 5 y 2 5 xx5yx 2 3 , 2 5 最短的弦为4 2 3 2 5 2 22 则，公差为 d5a, 4a n1 有：1 d 1 nd) 1n(45 5 d 1 3 3 1 d 5 1 则，故 n=5，故选 D6n4 点悟：点悟：在做综合题时，一定要注意各章节知识的联系。 例 9. 已知 、成公比为 2 的等比数列，且也成等比)2 , 0(sinsinsin、 数列，求 、的值。 剖析：剖析：本小题考查数列与三角函数知识的综合应用。 解析：解析：、成公比为 2 的等比数列 4,2 3 4 3 2 ,2 , 0, 2 1 cos 1cos 0sin,1cos 2 1 cos1cos 01coscos2 1cos2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin sin,sin,sin 2 2 或时当 应舍去故 为零由于等比数列的首项不 时当 或解得 即 成等比数列 所以 3 16 , 3 8 , 3 4 3 8 , 3 4 , 3 2 或 点悟：点悟：将 与用 表示，简化了解题过程。 例 10. 设两个方程的四个根组成以 2 为公比的等比数列，01bxx, 01axx 22 求 ab 的值。 剖析：剖析：根据四个根成等比数列，可先恰当设出四个根，再由方程中的常数项同时为 1，判断出哪两项对应哪个方程的两个根，然后用韦达定理得出根与系数关系，从而求出 ab 的值。 解析：解析：设以 2 为公比，成等比数列的四个根依次为 t，2t，4t，)0t ( t 8 两方程的常数项同为 101bxx, 01axx 22 只有时才有解，此时 1t4t2 1t 8t 8 1 t 2 t、8t 是其中一个方程的两根，2t、4t 是另一方程的两根，不妨设 t、8t 是 的两根，2t、4t 是的两根。01axx 2 01bxx 2 则 bt4t2 at 8t 即 t6b t9a 4 27 t54ab 2 点悟：点悟：方程思想是解决数列问题的重要的数学思想。 例 11. 随着人们日常生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华 型的标准在飞速发展，为些各种花园住宅小区在全国各地涌现。现有某市一住宅小区出售 面积为 150 平方米，售价为每平方米 4000 元的住房。若一次性将房款全部付清，可降低 10%，若无力一次性付款，可先付房款的 30%，即可入住，剩余房款在 15 年内分三次等额 付清，年利率为 1.2%，求每次付款多少元？总共付款多少元？比售价高出多少元？比一次 付款多付多少？ 剖析：剖析：本小题考查数列的实际应用问题。 解析：解析：面积为 150 平方米，每平方米 4000 元的住房，其售价为 （元）=60（万元） 。6000001504000 若一次性将房款全部付清，由于降低 10% 只需付款（万元）54 100 90 60 若无力一次性付清，可先付房款的 30% 即（万元）18 100 30 60 剩余的房款 42 万元，在 15 年内分三次等额付清，由于年利率为 1.2% 剩余房款 42 万元在 15 年后房款全部付清时，其剩余房款增值为 42（1+0.012）15万 元。 由于 15 年内将剩余房款 42 万元分三次等额付清，设每次付款 x 万元，则第三次付清 x 万元时，房款全部付清，这次付款没有利息。 第二次付款 x 万元，过 5 年即取房款全部付清时，所生利息连同本金和为 万元。 5 )012 . 0 1 (x 由分期付款的规定则有。 15105 )012 . 0 1 (42)012 . 0 1 (x)012 . 0 1 (xx 15 5 15 )012 . 0 1 (42 1)012 . 0 1 ( 1)012 . 0 1 ( x （万元） 7550.15 1)012 . 0 1 ( 1)012 . 0 1 ()012 . 0 1 (42 x 15 515 即每次付款 15.7550 万元，共付款 47.2650 万元，比住房售价多出 5.2650 万元，比一 次性付款多付 11.2650 万元。 点悟：点悟：本题对分期付款、一次性付款和房价进行了精确的比较，为分期付款提供了理 论依据。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟） 一. 选择题： 1. 在等差数列中，则（ ）anadSn 1 11235 ，an A. 5 或 7B. 3 或 5C. 7 或D. 3 或11 2. 在等差数列中，那么前 16 项的和等于（ ）anaaaa 38149 64 A. 128B. 254C. 256D. 324 3. 数列中，则该数列的前 n 项和等于（ ）anaaa nn 13 613， A. B. C. D. 31 2 n n() n2 n n()1 2 32 2 nn 4. 等差数列的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项之和为（ ）an A. 130B. 170C. 210D. 260 5. 是 a、b、c 成等比数列的（ ）bac 2 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 在等比数列中，则（ ）anaaaa 1234 30120，aa 56 A. 240B. 480C. 720D. 960 7. 在等比数列中，若是方程的两根，则（ ）anaa 37 、31190 2 xxa5 A. 3B. C. D. 3 33 8. 三个正数成等差数列，其和为 15，若它们分别加上 1，3，9 就成等比数列，则这三个 数为（ ） A. 3，5，7B. 15，5，5 C. 3，5，7 或 15，5，D. 以上都不对5 二. 填空题： 9. 在 50 到 350 之间所有末位数是 1 的整数之和为_。 10. 已知等差数列中，若最小，则 n=_。anaSS 12545 0，Sn 11. 在各项均为正数的等比数列中，若，则ana a 56 9 _。logloglog 3132310 aaa 12. 在 1 和 1024 之间插入九个数，使这 11 个数顺次成等比数列，所插入的九个数之和 是_。 三. 解答题： 13. 项数为的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求21mmN， * an 中间项及项数。am21m 14. 已知等差数列中，公差，且，求其前 20 项and 0a aaa 3746 124 ， 和。S20 15. 在等比数列中，若，求的通项公式。anaaaa a a 123123 78，an 16. 某车间的劳动生产率平均每月比上个月提高 2.4%，那么大约需经过多少月，劳动生 产率可以翻一番？（已知，结果精确到个位） 。lg.20301 试题答案试题答案 1. D 提示：提示：由得，解得或 7Sna n n d n 1 1 2 () 1135 2 nnnn 5 当时，n 5aaad n 51 41183 当时，n 7aa n 7 11121 2. C 提示：提示：，而。S aa 16 116 16 2 () aaaaaa 11631489 3. D 提示：提示：由，可知数列是等差数列，且，又aa nn 1 6and 6 。aad 13 2 4. C 提示：提示：利用成等差数列求解较为简便。SSSSS mmmmm ， 232 5. B 提示：提示：当时，有可能 a、b、c 为零，且 a、b、c 成等比数列的一个必要bac 2 条件是 a、b、c 均不为 0。 6. B 提示：提示：，故，aaqaaaaqaa 34 2 1256 2 34 ()()，aaaa 1234 ， 亦成等比数列，由知，aa 56 aaaa 1234 30120，q 2 4 。aaaa 5634 4480() 7. C 提示：提示：，而aa a 5 2 37 a a 37 3 8. A 提示：提示：设此三数为adaad， ， 9. 5880 提示：提示：在 50 到 350 之间所有末位数是 1 的整数共有 30 个，且 。aa 130 5