湖南省师范大学附属中学2020届高三数学考前演练试题（五）文（含解析）

湖南省师范大学附属中学2020届高三数学考前演练试题（五）文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则 （）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】【分析】求出A中不等式的解集，找出两集合的交集即可【详解】由题意可得，所以.故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若点P（1，2）是角a的终边上一点，则 （）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得，再由二倍角公式可得.【详解】因为点P（1，2）是角a的终边上一点，所以.所以.故选B.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题3.已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|= （）A. 1B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法除法运算法则即可得出【详解】因为，所以.故答案A【点睛】本题考查了复数的乘法除法以及求模的运算，考查了计算能力，属于基础题4.设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得出,再利用a,b,c的关系，离心率公式得解.【详解】因为双曲线两焦点之间的距离为10，所以，所以，所以.所以离心率.故选C.【点睛】本题考查双曲线基本量a,b,c的关系,离心率的公式,基础题.5.下列关于函数的判断中，正确的是 （）A. 函数f（x）的图象是轴对称图形B. 函数f（x）的图象是中心对称图形C. 函数f（x）有最大值D. 当时，f（x）是减函数【答案】B【解析】【分析】A，B两个选项考查函数的奇偶性，所以必须先求出定义域；C,D两个选项考查函数的单调性，可以利用导数的知识对各选项进行分析、判断【详解】函数的定义域为，且，函数f（x）是奇函数，所以B正确，A错误；，所以函数在上是减函数，所以函数f（x）没有最大值，且当，时，f（x）单调递减，但，所以C、D错误。故选B【点睛】本题考查函数的单调性、最值、对称性等，属于中档题目6.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得：，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求.【详解】根据题意得：，又，所以.应故选D【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.7.若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，ABC的面，则a= （）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角形面积公式可得,利用正余弦平方关系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【详解】因为，面积，所以.所以.所以，.所以.故选A.【点睛】本题考查正余弦定理,面积公式,基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中ABCD为矩形，易知该几何体的体积故选B【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，画出几何体的直观图是解题的关键9.南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”和“”中应填入的执行语句分别是 （）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】初始值，.，该程序的计算方式：第一步：计算，中的结果应为；第二步：计算，中的结果应为；故处可填，处应填，故选D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.10.已知抛物线上有一条长为8的动弦AB，则弦AB的中点到x轴的最短距离为（）A. 2B. .3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据题意求得准线方程，分别过A作于A1，过B作于B1设弦AB的中点为M，过M作于M1, 则可表示出,根据的范围和抛物线定义可得.【详解】由题意得抛物线的准线l的方程为，过A作于A1，过B作于B1，设弦AB的中点为M，过M作于M1，则，设抛物线的焦点为F，则，即（当且仅当A，B，F三点共线时等号成立），所以，解得，即孩AB的中点到x轴的最短距离为.选. 故答案B.【点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质关键是对抛物线的定义的灵活利用11.若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是 （）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，由变形得再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系即可.【详解】如图，可行域为ABC.当时，符合题意；当时，由变形得，可知，得；当时，由变形得，可知，得一2a0；综上得.故选A.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题12.若函数在上有极大值，则a的取值范围为 （）A. B. C. (2,e)D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数,且其极大值点在区间内，解得a的范围，根据极大值点的左边导数为正且右边导数为负，确定a的范围.【详解】令，得，解得，由题意，有极大值，故时，时，所以，得综上，.故选B.【点睛】考查了利用导数研究函数单调性,极大值的意义,中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上.）13.命题：“，使得”的否定是_ .【答案】【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题,改量词,否结论【详解】【点睛】本题考查特称命题的否定形式.14.在区间（0，4）内任取一实数t，则的概率是_.【答案】【解析】【分析】先解出对数不等式得出实数t的范围,根据古典概型的长度之比可得.【详解】由，得，解得.所以.【点睛】本题考查对数不等式,古典概型,基础题.15.已知直线与圆C:交于A、B两点，且ABC（其中顶点C为圆C的圆心）为等腰直角三角形，则圆C的面积为_【答案】【解析】【分析】根据圆中的勾股定理以及点到直线的距离公式可得.【详解】国C化为，且圆心C（2a，1），半径.因为直线和圆相交，ABC为等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距高为等，即，解得：C的面积为.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题16.对满足的任意x，y，恒有，成立，则a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】画出可行域，利用已知条件转化列出关系式，然后讨论a的范围，求解即可【详解】由得则不等式组表示的平面区域D如图中的阴影部分所示。而表示的平面区城是抛物线上或内部的点集E.由题设知，.下面考虑抛物线与直线和相切时的情形：由得，所以，解得.当时，抛物线恒在直线的右上方和直线的左上方区域，因此满足条件；由，得，所以，即.同理，可验证满足条件。结合图形可知，a的取值范围为。【点睛】本题考查线性规划的简单应用，函数恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知数列满足，其中为的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 运用数列的递推式，令n=1，求出第二项；再将n换为n-1，两式相减，化简即可得到所求通项公式；（2）由题意可得，代入即得，是一个等比数列与一个等差数列的和，分组求和即可.【详解】（1）.由，当时，可得.当时，两式相减得：，即，且.故是以1为首项，3为公比等比数列。所以 （2）.由题意，所以.所以.【点睛】本题考查数列通项公式,数列的前n项和的求法，基础题.18.如图，在直三棱柱中，D为AC边的中点，.（1）求证：AB1/平面BDC1；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接B1C交BC1于点E连接DE，推导出DE/AB1 由此证明AB1/平面BDC1(2) 由异面直线AB1与BC1所成角即DE与BC1所成角由此能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值【详解】（1）.如图，连接B1C交BC1于点E，连接DE，由直三棱柱ABC-A1B1C1可知，点E为B1C的中点，又D为AC的中点，所以DE/AB1，且平面BDC1，平面BDC1，所以AB1/平面BDC1（2）.由（1）可知异面直线AB1与BC1所成角即DE与BC1所成角.因为，所以，.又因为，所以，所以。由，得在EC1D中，故所求角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力和推理能力，是中档题19.当前全世界人民越来越关注环境保护问题，某地某监测站点于2020年8月起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：空气质量指数（g/m3）0，50（50，100（100，150（150，200（200，250空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别为0，50和（50，100的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率。【答案】（1）见解析（2）平均数95，中位数为（3）【解析】【分析】（1）由频率分布表求出n，m，由此能完成频率分布直方图（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数（3）由题意知在空气质量指数为0，50和（50，100的监测天数中分别抽取2天和4天在所抽取的6天中，将空气质量指数为0，50的2天记为x，y，空气质量指数为（50，100的4天记为a，b，c，d，从中任取2天，利用列举法能求出事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率详解】（1）.，.n=100.20+40+m+10+5=100.m=25;，由此完成频率分布直方图如图. （2）.由频率分布直方图得该组数据的平均数为250.00450+750.00850+1250.00550+1750.00250+2250.00150=95，0，50的频率为0.00450=0.2，（50，100的频率为0.00850=0.4，中位数为（3）.由题意知在空气质量指数为0，50和（50，100的监测天数中分别抽取2天和4天.在所抽取的6天中，将空气质量指数为0，50的2天记为x，y，空气质量指数为（50，100的4天记为a，b，c，d，则从中任取2天的基本事件为（x，y），（x，a），（x，b），（x，c），（x，d），（y，a），（y，b），（y，c），（y，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共计15个，其中事件A“两天空气质量等级为良”包含的基本事件有6个，.【点睛】本题考查频率、平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.20.已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆C上，且满足.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l:交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M（t，0），求mt的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】(1).利用向量数量积得出,再根据椭圆定义和a,b,c的关系得出方程.(2).将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理得出垂直平分线方程,将M点代入直线方程得出,利用基本不等式得出的范围,以此得出答案.【详解】（1）.设，由，得，.，椭圆C的方程为（2）.由得，得，由，且，得，设，则，所以AB的中点为 直线AB的斜率为，线段AB的垂直平分线为.依题意，当且仅当，即时取等号，mt的取值范围是【点睛】本题考查利用定义求椭圆方程,直线与椭圆的位置关系,中档题.21.已知函数，其中.（1）若直线为曲线在（0，f（0）处的切线方程，求a，并求f（x）的单调区间；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（-1，1）（2）【解析】【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程建立方程，即可求得a的值；利用导数的正负，可得f（x）的单调区间.(2)只需最大值处即可.【详解】（1）.，由题意可得，得.所以，令，得或，令，得，所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为（-1，1）（2）.由题意成立，故。又由(1)令得或.当时，可得f（x）在，（1，2）上递增，在上递减，故只需即可.，解得，综合可得号【点睛】本题考查导数的几何意义,利用导数求单调区间,最值,难题.22.在直角坐标系xO