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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（195）（无答案）第一试1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 设，且满足.则.2. 已知函数的最大值为5.则实数的值为.3. 设数列满足，其中，分别表示正数的整数部分、小数部分.则.4. 在三棱椎中，已知.若三个侧面与底面所成的二面角均为，则三棱椎的体积为.5. 已知双曲线，椭圆.若分别为双曲线、椭圆上的动点，为坐标原点，且，则点到直线的距离为.6. 设均为正整数，且.则的个位数字为.7. 设椭圆经过定点.则的最小值为.8. 一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出的概率分别为，其中，均为个位数.现甲、乙、丙同时独立解答此题，若他们中恰有一人解出此题的概率为，则他们三人均未解出此题的概率为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知正项数列满足且.求的通项公式.10.（20分）设.证明：集合中至多包含两个整数.11.（20分）求内接于抛物线的正三角形中心的轨迹方程.加 试一、（40分）给定正整数，及.求出，使得取最小值.2、 （40分）如图1，半径为的两圆交于两点，是半径为的圆上任意一点（不在另一圆内），与另一圆分别交于点.（1） 用及表示的长度；（2） 证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为.3、 （50分）试确定平面上是否存在满足下述条件的两个不相交的无限点集：（1） 在中，任何三点不共线，且任何两点的距离至少为1；（2） 任何一个顶点在中的三角形，其内部均存一个中的点，任何一个顶点在中的三角形，
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