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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（218）（无答案）第一试一、填空题1.设为正实数，且，若，且，则 .2.设，且正实数满足则的最大可能值为 3.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱BB1、B1C1的中点，若P为平面DMN内一个动点，当点P到平面CBC1B1的距离等于PD的长时，点P轨迹的离心率为 。4.二次曲线的焦点之间的距离为 。5.设数列满足，且则 6.设非实数的复数，满足，则 。7.将随机排成，则的概率为 .8.设，计算 。二、解答题9.设O为锐角的外心，的面积值依次成等差数列，求的最小值，并求出此时三个内角的值。10.设，且满足，求的最大值。11.设A为正常数，直线与双曲线所围成的有限部分的面积为A，证明：（1）直线被双曲线C所截线段的中点的轨迹为双曲线；（2）直线总是（1）中轨迹曲线的切线。加试一、如图1，设的外接圆为的平分线与BC交于点D，M为BC的中点，若的外接圆与AC、AB分别交于点P、Q，N为PQ的中点，证明：。二、设，证明：对所有正整数恒成立的充分必要条件为三、求满足以下条件的正整数的最大值：集合中任意五个500元子集，均存在两个集至少有个相同的元素。四、设，其中
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