江西省赣州市四所重点中学2020届高三数学上学期期末联考试题理 新人教A版

江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2020学年度第一学期期末联考高三数学试题(理科)一、选择题(每小题5分，共50分)1、已知x, yR, i为虚数单位，且(x2)iy1i，则(1i)xy的值为A4B4C44iD2i2、下列命题中正确的是A若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题B“sin”是“”的充分不必要条件Cl为直线，,为两个不同的平面，若l, 则lD命题“xR, 2x0”的否定是“$x0R,0”3、平面平面，点A, C, B, D，则直线AC直线BD的充要条件是AABCDBADCBCAB与CD相交DA, B, C, D四点共面4、已知向量a, b的夹角为60，且|a|2, |b|1，则向量a与向量a2b的夹角等于A150B90C60D305、一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是AB6C11D36、过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。若|AF|3，则AOB的面积为ABCD2 7、已知函数f(x)ax3x2在x1处取得极大值，记g(x)。程序框图如图所示，若输出的结果S，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是An2020 Bn2020Cn2020 Dn20208、已知双曲线的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为A相交B相切C相离D以上情况都有可能9、已知函数f(x)1的定义域是a, b(a, bZ)，值域是0, 1，则满足条件的整数对(a, b)共有A2个B5个C6个D无数个10、设D(x, y)|(xy)(xy)0，记“平面区域D夹在直线y1与yt(t1,1)之间的部分的面积”为S，则函数Sf(t)的图象的大致形状为二、填空题（每小题5分，共25分）11、设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x, y)满足0，则 。12、已知f(n)1+(nN*)，经计算得f(4)2, f(8), f(16)3, f(32),，观察上述结果，则可归纳出一般结论为 。13、给出下列四个命题：函数y2cos2(x)的图像可由曲线y1cos2x向左平移个单位得到；函数ysin(x)cos(x)是偶函数；直线x是曲线ysin(2x)的一条对称轴；函数y2sin2(x)的最小正周期是2.其中不正确命题的序号是。14、随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于的概率为。15、(注意：请在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)（1）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0）和(tR)，它们的交点坐标为。（2）设函数f(x)|xa|2，若不等式|f(x)|1的解为x(2, 0)(2, 4)，则实数a。三、解答题(12分12分12分12分13分14分75分)16、(12分)已知函数f(x)2cos2xsin(2x).（1）求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；（2）已知ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，若f(A), bc2，求实数a的最小值。17、(12分)某足球俱乐部2020年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为。（1）求小李第一次参加测试就合格的概率P1；（2）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望。18、(12分)已知函数f(x)logkx(k为常数，k0且k1)，且数列f(an)是首项为4，公差为2的等差数列。（1）求证：数列an是等比数列；（2）若bnanf(an)，当k时，求数列bn的前n项和Sn。19、(12分)如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O。（1）求证：平面O1DC平面ABCD；（2）若A1AB60，求平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值。20、(13分)如图，设F(c, 0)是椭圆的左焦点，直线l：x与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|。（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A, B。证明：AFMBFN；求ABF面积的最大值。21、(14分)已知函数f(x)在x0，x处存在极值。（1）求实数a, b的值；（2）函数yf(x)的图象上存在两点A, B使得AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；（3）当ce时，讨论关于x的方程f(x)kx (kR)的实根个数。2020学年度第一学期期末考试高三数学(理科)试题参考答案及评分标准 一、选择题(每小题5分，共50分。)题号12345678910答案BDDDDCABBC二、填空题（每小题5分，共25分）11、12、 13、14、 15、 （1，） 1三、解答题（共75分）16、（1）f(x)=2cos2x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1 (3分)所以函数f(x)的最大值为2. (4分)此时sin(2x+)=1，即2x+=2k+(kz) 解得x=k+(kz)故x的取值集合为x| x=k+，kz (6分)（2）由题意f(A)=sin(2A+)+1=,化简得sin(2A+)=，A（0，）, 2A+(,). A= (8分) 在三角形中，根据余弦定理，得a2b2c22bccos=（b+c)2-3bc (10分)由b+c=2 知bc()2=1, 即a21 当b=c=1时,实数a的最小值为1. (12分)17、（1）设小李四次测试合格的概率依次为：a, a, a, a(a)， (2分)则(1a)(a)，即,解得(舍)， (5分)所以小李第一次参加测试就合格的概率为； (6分)（2）因为P(x1)， P(x2)=，P(x3)，P(x4)1P(x1)P(x2)P(x3)， (8分)则x的分布列为x1234P(10分)所以， 即小李10月份参加测试的次数x的数学期望为. (12分)18、（1）证明：由题意知f(an)4(n1)22n2， (2分)即logkan2n2，ank2n2， (3分). (5分)常数k0且k1，k2为非零常数，数列an是以k4为首项，k2为公比的等比数列。 (6分)（2）由（1）知，bnanf(an)k2n2(2n2)，当k时，bn(2n2)2n1(n1)2n2. (8分)Sn223324425(n1)2n2， 2Sn224325n2n2(n1)2 n3， (10分)，得Sn22324252n2(n1)2n3 23(2324252n2)(n1)2n3,Sn23(n1)2n3n2n3. (12分)19、（1）连结AC,BD,AC,则O为AC,BD的交点O1为A1C1,B1D1的交点。由平行六面体的性质知：A1O1OC且A1O1=OC,四边形A1OCO1为平行四边形， (2分)A1OO1C. 又A1O平面ABCD，O1C平面ABCD, (4分)又O1C平面O1DC, 平面O1DC平面ABCD。 (6分)（2）由题意可知RtA1OBRtA1OA,则A1A=A1B，又A1AB=600，故A1AB是等边三角形。 (7分)不妨设AB=a, 则在RtA1OA中，OA=a, AA1=a, OA1=a,如图分别以OB,OC,OA1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，则可得坐标为A(0,-a,0), B(a,0,0), A1(0,0,a) (8分)=(a,a,0)， =(-a,0,a)设平面ABA1的法向量为=(x,y,z)则由=0得x+y=0,由=0得x-z=0令x=1得=(1,-1,1) (10分)又知BD平面ACC1A1，故可得平面CAA1的一个法向量为=(1,0,0)cos=|=从而平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值为。 (12分)20、（1） |MN|8, a4， (1分)又|PM|2|MF|，e， (2分)c2, b2a2c212， 椭圆的标准方程为 (3分)（2）证明：当AB的斜率为0时，显然AFMBFN0，满足题意；(4分)当AB的斜率不为0时，设AB的方程为xmy8，代入椭圆方程整理得(3m24)y248my1440. (5分)576(m24), yAyB, yAyB.则,而2myAyB6(yAyB)2m60， (7分)kAFkBF0，从而AFMBFN.综合可知：对于任意的割线PAB，恒有AFMBFN. (8分)方法一：SABFSPBFSPAF (10分)即SABF，(12分)当且仅当，即m时（此时适合于0的条件）取到等号。ABF面积的最大值是3. (13分)方法二：点F到直线AB的距离 (10分)， (12分)当且仅当，即m时取等号。 (13分)21、（1）当x1时，f (x)3x22axb.因为函数f(x)在x0, x处存在极值，所以解得a1, b0. (3分)（2）由（1）得根据条件知A, B的横坐标互为相反数，不妨设A(t, t3t2), B(t, f(t)(t0). (4分)若t1，则f(t)t3t2, 由AOB是直角得0，即t2( t3t2)(t3t2)0，即t4t210.此时无解； (5分)若t1，则f(t)c(et11).由于AB的中点在y轴上，且AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t1.同理0， 即t2( t3t2)c(et11)0，整理后得 . (7分)因为函数y(t1)(et-11)在t1上的值域是(0, ),所以实数c的取值范围是(0, ). (8分)（3）由方程f(x)kx,知因为0一定是方程的