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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（222）（无答案）第一试一、填空题1.用表示实数的小数部分，已知，则= 。2.一个盒中有12件正品和3件次品，每次不放回地取出一件产品，在取得正品前已取出的次品数的数学期望= 。3.函数的最大值为 。4.若数字满足且，则九位正整数为一个“九位峰数”，例如134698752，那么，所有的九位峰数的个数为 。5.已知方程的2020个根为1，= 。6.已知，至少有一个正数，使得的定义域和值域相同，则满足条件的实数的值为 。7.已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F、倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，AO（O为坐标原点）与准线交于点，BO与准线交于点，则四边形的面积为 。8.对一个边长互不相等的凸2020边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝、紫四种颜色中的一种，但不允许相邻的边同色，则共有 种不同的染色方法。二、解答题9.已知数列的通项公式为。记，求所有的正整数，使得10.已知集合，集合为S的子集，满足：（1） （2）11.如图1，已知直线与抛物线和圆均相切，F为抛物线C1的焦点（1）设A为抛物线C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线，与轴交于点B，以FA、FB为邻边作，证明：点M在一条定直线上；（2）在（1）条件下，记点M所在的定直线为，直线与轴交于点N，MF与抛物线C1交于P、Q两点,求的面积S的取值范围。加试一、定义数列：证明：对每一个正整数均有二、已知为正整数，证明：不存在模8余7的素因子。三、如图2，的内切圆与边AB、BC切于D、E两点，DE与的另一个交点为F，CF与AB交于点G，点H在线段CG上，且HG=CF，证明：若A、H、E三点共线，则AB=AC.四、已知集合X为平面内的一个有限点集，T为平面内的一个正三角形，集合，且，若对任意满足条件的集合S，均可以
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