辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 复数运算的拓展

辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 复数运算的拓展通过使用CASIO ClassPad 330图形计算器，笔者初步认识了虚数单位i，并在学长徐珑迪的帮助下了解了复数的相关知识，掌握了复数的四则运算和纯虚数的正整数乘方运算。在和徐珑迪的合作过程中，笔者进一步发现，图形计算器的运用使复数集中任意代数运算成为了可能，且复数集对于所有的代数运算是封闭的。下面是我们合作讨论的成果。目录一、负实数的乘方运算二、纯虚数的乘方运算 2.1 底数为纯虚数、指数为实数的乘方运算 2.2 底数为实数、指数为纯虚数的乘方运算 2.3 底数和指数均为纯虚数的乘方运算三、负实数的对数运算 3.1真数为正实数、底数为负实数的对数运算 3.2真数为负实数、底数为正实数的对数运算 3.3真数和底数均为负实数的对数运算四、纯虚数的对数运算 4.1 真数为纯虚数、底数为实数的对数运算 4.2 真数为实数、底数为纯虚数的对数运算 4.3 真数和底数均为纯虚数的对数运算五、纯虚数的三角函数运算 5.1 纯虚数的正弦函数运算 5.2 纯虚数的余弦函数运算 5.3 纯虚数的正切函数运算六、复数的乘方运算七、复数的对数运算八、复数的三角函数运算 8.1 复数的正弦函数运算 8.2 复数的余弦函数运算 8.3 复数的正切函数运算为了逐一证明这些运算，笔者将用到以下两条定理：【定理1】复数的三角式和指数式a+bi=(cos+isin)=ei (=a2+b2, tan=ba, (-,)ei=(cos+isin)=a+bi (=a2+b2, tan=ba,R)【定理2】德莫弗(De Moivre)公式(cos+isin)n=cosn+isinn在将所有运算推广到复数之前，笔者将先论述负实数和纯虚数的乘方、对数、三角函数运算。一、负实数的乘方运算【例1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(-2)e=2e(cose+isine)【结论1】对于任意实数a1,a2(a10)，有(-a1)a2=a1a2(cosa2+isina2)【证明1】(-a1)a2=(-1)a2a1a2 =(cos+isin)a2a1a2 （定理1） =a1a2(cosa2+isina2) （定理2）二、纯虚数的乘方运算2.1 底数为纯虚数、指数为实数的乘方运算【例2-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(2i)-13=3-i232【结论2-1】对于任意纯虚数bi(b0)和实数a，有(bi)a=ba(cosa2+isina2)【证明2-1】(bi)a=baia =ba(cos2+isin2)a （定理1） =ba(cosa2+isina2) （定理2）2.2 底数为实数、指数为纯虚数的乘方运算【例2-2-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，2i=cosln2+isinln2【结论2-2-1】对于任意纯虚数bi(b0)和正实数a，有abi=cos(blna)+isin(blna)【证明2-2-1】abi=(ab)i=(elnab)i=eblnai =cos(blna)+isin(blna) （定理1）【例2-2-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(-2)i=e-(cosln2+isinln2)【结论2-2-2】对于任意纯虚数bi(b0)和正实数a，有(-a)bi=e-b(cos(blna)+isin(blna)【证明2-2-2】(-a)bi=cos(bln(-a)+isin(bln(-a) （结论2-2-1） =cos(blna+bi)+isin(blna+bi) （结论3-1） =cos(blna)coshb-isin(blna)sinhb+i(sin(blna)coshb+icos(blna)sinhb) （结论8-1、结论8-2） =(cos(blna)+isin(blna)(coshb-sinhb) =(cos(blna)+isin(blna)(eb+e-b2-eb-e-b2) =e-b(cos(blna)+isin(blna)2.3 底数和指数均为纯虚数的乘方运算【例2-3-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，i(-i)=e2【结论2-3-1】对于任意虚数b1i,b2i(b10,b20)，有(b1i)b2i=e-(b22-2k)(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1) (kZ,b22-2k(-,)【证明2-3-1】(b1i)b2i=(b1i)b2)i =(b1b2(cosb22+isinb22)i （结论2-1） =b1b2i(ei(b22-2k)i (kZ,b22-2k(-,) （定理1） =e-(b22-2k)(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1) (kZ,b22-2k(-,) （结论2-2-1）【例2-3-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(-i)(-i)=e2(-sinh+icosh)【结论2-3-2】对于任意虚数b1i,b2i(b10,b20)，有(-b1i)b2i=e-(32b2-2k)(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1) (kZ,b22-2k(-,)【证明2-3-2】(-b1i)b2i=(-b1i)b2)i =(-b1)b2(cosb22+isinb22)i （结论2-1） =(-b1)b2i(ei(b22-2k)i (kZ,b22-2k(-,) （定理1） =e-b2(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1)e-(b22-2k) （结论2-2-2） =e-(32b2-2k)(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1) (kZ,b22-2k(-,)三、负实数的对数运算3.1真数为正实数、底数为负实数的对数运算【例3-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log5(-2)=ln2+iln5【结论3-1】对于任意正实数a,b，有loga(-b)=lnb+ilna【证明3-1】loga(-b)=ln(-b)lna=lnb+ln(-1)lna =lnb+lneilna （定理1） =lnb+ilna3.2 真数为负实数、底数为正实数的对数运算【例3-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-5)2=ln2ln5+i【结论3-2】对于任意正实数a,b，有log(-a)b=lnblna+i【证明3-2】log(-a)b=lnbln(-a)=lnblna+ln(-1) =lnblna+lnei （定理1） =lnblna+i3.3 真数和底数均为负实数的对数运算【例3-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-5)(-2)=ln2+iln5+i【结论3-3】对于任意正实数a,b，有log(-a)(-b)=lnb+ilna+i【证明3-3】log(-a)(-b)=ln(-b)ln(-a)=lnb+ln(-1)lna+ln(-1) =lnb+lneilna+lnei （定理1） =lnb+ilna+i四、纯虚数的对数运算4.1 真数为纯虚数、底数为实数的对数运算【例4-1-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log2(3i)=ln3+2iln2【结论4-1-1】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有loga(bi)=lnb+2ilna【证明4-1-1】logabi=ln(bi)lna=lnb+lnilna =lnb+lne2ilna （定理1） =lnb+2ilna【例4-1-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-2)(3i)=ln3+2iln2+i【结论4-1-2】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有log(-a)(bi)=lnb+2ilna+i【证明4-1-2】log(-a)bi=ln(bi)ln(-a)=lnb+lnilna+ln(-1) =lnb+lne2ilna+lnei （定理1） =lnb+2ilna+i【例4-1-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log2(-3i)=ln3-2iln2【结论4-1-3】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有loga(-bi)=lnb-2ilna【证明4-1-3】loga(-bi)=ln(-bi)lna=lnb+ln(-i)lna =lnb+lne-2ilna （定理1） =lnb-2ilna【例4-1-4】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-2)(-3i)=ln3-2iln2+i【结论4-1-4】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有log(-a)(-bi)=lnb-2ilna+i【证明4-1-4】log(-a)(-bi)=ln(-bi)ln(-a)=lnb+ln(-i)lna+ln(-1) =lnb+lne-2ilna+lnei （定理1） =lnb-2ilna+i4.2 真数为实数、底数为纯虚数的对数运算【例4-2-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log3i2=ln2ln3+2i【结论4-2-1】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有logbia=lnalnb+2i【证明4-2-1】logbia=1loga(bi) =lnalnb+2i （结论4-1-1）【例4-2-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log3i(-2)=ln2+iln3+2i【结论4-2-2】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有logbi(-a)=lna+ilnb+2i【证明4-2-2】logbi(-a)=1log(-a)(bi) =lna+ilnb+2i （结论4-1-2）【例4-2-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-3i)2=ln2ln3-2i【结论4-2-3】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有log(-bi)a=lnalnb-2i【证明4-2-3】log(-bi)a=1loga(-bi) =lnalnb-2i （结论4-1-3）【例4-2-4】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-3i)(-2)=ln2+iln3-2i【结论4-2-4】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有log(-bi)(-a)=lna+ilnb-2i【证明4-2-4】log(-bi)(-a)=1log(-a)(-bi) =lna+ilnb-2i （结论4-1-4）4.3 真数和底数均为纯虚数的对数运算【例4-3-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，logi(2i)=ln2+2i2i【结论4-3-1】对于任意虚数b1i,b2i(b10,b20)，有log(b1i)(b2i)=lnb2+2ilnb1+2i【证明4-3-1】log(b1i)(b2i)=ln(b2i)ln(b1i)=lnb2+lnilnb1+lni =lnb2+lne2ilnb1+lne2i （定理1） =lnb2+2ilnb1+2i【例4-3-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，logi(-2i)=ln2-2i2i【结论4-3-2】对于任意虚数b1i,b2i(b10,b20)，有log(b1i)(-b2i)=lnb2-2ilnb1+2i【证明4-3-2】log(b1i)(-b2i)=ln(-b2i)ln(b1i)=lnb2+ln(-i)lnb1+lni =lnb2+lne-2ilnb1+lne2i （定理1） =lnb2-2ilnb1+2i【例4-3-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-i)(2i)=-ln2+2i2i【结论4-3-3】对于任意虚数b1i,b2i(b10,b20)，有log(-b1i)(b2i)=lnb2+2ilnb1-2i【证明4-3-3】log(-b1i)(b2i)=ln(b2i)ln(-b1i)=lnb2+lnilnb1+ln(-i) =lnb2+lne2ilnb1+lne-2i （定理1） =lnb2+2ilnb1-2i【例4-3-4】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-i)(-2i)=-ln2-2i2i【结论4-3-4】对于任意虚数b1i,b2i(b10,b20)，有log(-b1i)(-b2i)=lnb2-2ilnb1-2i【证明4-3-4】log(-b1i)(-b2i)=ln(-b2i)ln(-b1i)=lnb2+ln(-i)lnb1+ln(-i) =lnb2+lne-2ilnb1+lne-2i （定理1） =lnb2-2ilnb1-2i五、纯虚数的三角函数运算注：对于纯虚数的三角函数运算的讨论中，复数幅角的定义扩宽到任意纯虚数。5.1 纯虚数的正弦函数运算【例5-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，sini2=sinh12i【结论5-1】对于任意纯虚数bi(b0)，有sinbi=sinhbi【证明5-1】sinbi=(cos(-bi)+isin(-bi)2-cos(-bi)-isin(-bi)2)i =e-bii-ebii2i （定理1） =eb-e-b2i=sinhbi5.2 纯虚数的余弦函数运算【例5-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，cosi2=cosh12【结论5-2】对于任意纯虚数bi(b0)，有cosbi=coshb【证明5-2】cosbi=cos(bi)+isin(bi)2+cos(bi)-isin(bi)2 =ebii+e-bii2 （定理1） =e-b+eb2=coshb5.3 纯虚数的正切函数运算【例5-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，tani2=tanh12i【结论5-3】对于任意纯虚数bi(b0)，有tanbi=tanhbi【证明5-3】tanbi=sinbicosbi =sinhbicoshb （结论5-1、结论5-2） =tanhbi 基于以上的铺垫，现在我们来正式讨论复数的乘方、对数和三角函数运算。六、复数的乘方运算【例6】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(4+3i)2-i=25earctan34(cos(2arctan34-ln5)+isin(2arctan34-ln5)【结论6】对于任意复数a1+b1i,a2+b2i，有(a1+b1i)a2+b2i=1a2e-b21(cos(b2ln1+a21)+isin(b2ln1+a21)(1=a12+b12, tan1=b1a1, 1(-,)【证明6】(a1+b1i)a2+b2i=(1ei1)a2+b2i （定理1） =1a2+b2ie(a2i-b2)1=1a2e-b211b2iea21i =1a2e-b21eln1b2iea21i=1a2e-b21ei(b2ln1+a21) =1a2e-b21(cos(b2ln1+a21)+isin(b2ln1+a21) （定理1）七、复数的对数运算【例7】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-3-i)(-2+2i)=ln2+34iln2-56i【结论7】对于任意复数a1+b1i,a2+b2i，有log(a1+b1i)(a2+b2i)=ln2+2iln1+1i(1=a12+b12, tan1=b1a1, 2=a22+b22, tan2=b2a2,1,2(-,)【证明7】log(a1+b1i)(a2+b2i)=ln(a2+b2i)ln(a1+b1i) =ln(2ei2)ln(1ei1) （定理1） =ln2+2iln1+1i八、复数的三角函数运算注：对于复数的三角函数运算的讨论中，复数幅角的定义扩宽到任意纯虚数。8.1 复数的正弦函数运算【例8-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，sin(e+i)=sinecosh+icosesinh【结论8-1】对于任意复数a+bi，有sin(a+bi)=sinacoshb+icosasinhb【证明8-1】sin(a+bi)=sinacos(bi)+cosa