【状元之路】2020届高中数学 10直线、平面、简单几何体单元测评 文 大纲人教版

单元测评(十)测试内容：直线、平面、简单几何体测试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A0B2C4 D5解析：如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有BC，BB1，CD，C1D1，AA1，共5条答案：D2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：连接A1D，B1C，则BC1B1C，BC1DC，B1CDCCBC1平面A1B1CD，B1P平面A1B1CD，BC1B1P，即B1P与BC1所成的角等于90.答案：D3已知m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()Am，n，m，nB，m，nmnCnm，nmDm，mnn解析：构造如图所示的正方体，在选项A中，设AA1、BB1的中点分别为E、F，选取平面ABCD为，AB为m，CD为n，平面C1D1EF为，知A错；在选项B中，选取平面ABCD为，选取平面A1B1C1D1为，AB为m，B1C1为n，知B错；在选项D中，选取平面ABCD为，AA1为m，AB为n，知D错答案：C4如图所示，正三棱锥ABCD中，E、F分别为BD、AD的中点，EFCF，则直线BD与平面ACD所成的角为()A30 B45C60 D90解析：由题易得ABCD，又ABEF，EFCF，ABCF.CDCFC，得AB平面ACD，即是平面ACD的法向量，则ADB为所求的角又在RtABD中，ABAD，ADB45.答案：B5已知m，n为不同的直线，为不同的平面，给出下列命题：n； nm； mn其中正确的是()ABCD解析：中的结论不一定成立，有可能会出现n的情形；、正确；不一定成立，有可能会出现m、n为异面直线答案：A6如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值等于()A2 B.C2 D1解析：因为ADA1D1，所以异面直线BD1与AD所成的角就是BD1与A1D1所成的角，即为A1D1B.由勾股定理，得A1B2，tanA1D1B.答案：B7设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有且只有()A1条B2条C3条D4条解析：本题考查我们是否理解在空间中两条平行线与给定的平面所成角相同，与给定的直线l所成角相同这一性质在l上取一点A，则过点A与平面和l都成30角的直线的条数与过A与l，都成30角的直线的条数相同，有2条. 答案：B8如图，在三棱锥COAB中，OA、OB、OC两两互相垂直，且OA1，BC，则该三棱锥的体积的最大值等于()A. B. C1 D.解析：设OBC，则OBcos，OCsin.由题意知，当SOBC取得最大值时，VCOAB的值最大而SOBCOBOCcossinsin2，当2，即时取等号，VCOAB1.答案：B9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB2BC2，ACB90，点D是棱CC1的中点，则过三点A1、B、D的截面的面积为()A. B2C. D.解析：由已知，可得A1C1AC，A1D2，BD，A1B2.在A1BD中，A1B2BD2A1D22BDA1DcosA1DBcosA1DB.sinA1DB，于是SA1BDA1DBDsinA1DB2.答案：D10设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知点A到B、C两点的球面距离都是，且二面角BOAC的大小为，则从点A沿球面经B、C两点再回到点A的最短距离是()A. B. C. D.解析：球的半径R1，点A到B、C的球面距离为，AOB90，AOC90，AOOB，AOOC.又二面角BOAC的大小为，BOC.设AB，AC，BC的球面距离为lAB、lAC、lBC，最短距离为lABlAClBC1. 答案：C11已知正方体外接球的体积是，则正方体的棱长是()A2 B. C. D.解析：设正方体棱长为a，则外接球半径为a，(a)3，a.答案：D12已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上运动，且A1PA1Qx，设面MEF面MPQl，则下列结论中不成立的是()Al面A1B1C1D1BlACC当x变化时，l是一确定的直线D面MEF面MPQ解析：A1PA1QPQB1D1.又EFBDB1D1，PQEF.又PQ平面MEF，EF面MEF，得PQ面MEF，而PQ面MPQ，面MEF面MPQl，PQl.又PQ平面A1B1C1D1，l面A1B1C1D1，知A成立；又由已知，可得PQAC，lAC，知B成立；由PQl，且l经过定点M，得l是一确定的直线，C成立；由于P、Q的位置是变动的，所以不能确定面MEF面MPQ，故选D.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面，有下列命题：其中正确的命题个数是_若l，m，且lm，则 ；m，n，m，n，则；若，m，n，nm，则n.解析：.中m、n若不相交，则不一定平行于.由面面垂直的性质定理知，正确答案：214如图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B、D间的距离为_解析：ACD90，0.同理，0.AB与CD成60角，60或120.又，|2|2|22223211cos，|2或.即B、D间的距离为2或.答案：2或15如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.正确的有_(把所有正确的序号都填上)解析：由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质，得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；又平面PAB平面ABC，所以平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确答案：16已知a、b是两条异面直线，ab，点Pa，且Pb.下列命题中：在上述已知条件下，平面一定满足：P，a，且b；在上述已知条件下，存在平面，使P，aM，且b；在上述已知条件下，直线c一定满足：Pc，ac，且bc；在上述已知条件下，存在直线c，使Pc，ac，且bc.正确的命题有_(把所有正确的序号都填上)解析：构造正方体ABCDA1B1C1D1，设AB所在的直线为a，CC1所在的直线为b，当点PCD时，不存在平面，使P，a，且b，错；显然也错；而、正确答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分17(本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点(1)求证：MN平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小解析：(1)在直三棱柱中，BCAC，BCCC1，ACCC1C，所以BC平面ACC1A1.连接AC1，则BCAC1.由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1CAC1.又BCA1CC，所以AC1平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点又点N是B1C1的中点，则MN是AB1C1的中位线，所以MNAC1.故MN平面A1BC.(2)因为AC1平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角设ACBCCC1a，则C1Da，BC1a.在RtBDC1中，sinC1BD，所以C1BD30，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30.18(本小题满分12分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点求证：(1)MN平面ABCD；(2)MN平面B1BG.解析：(1)取CD的中点记为E，连NE，AE.由N，E分别为CD1与CD的中点，得NED1D且NED1D.又AMD1D且AMD1D，所以AMNE且AMEN，即四边形AMNE为平行四边形所以MNAE.又AE面ABCD，所以MN面ABCD.(2)由AGDE，BAGADE90，DAAB可得EDA与GAB全等所以ABGDAE.又DAEAED90，AEDBAF，所以BAFABG90.所以AEBG.又BB1AE，所以AE面B1BG.又MNAE，所以MN平面B1BG.19(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中， AA1AB，D、E、F分别为棱AA1、CC1、BC的中点(1)求证：BD平面AEF；(2)求二面角FAEC的大小解析：方法一：(1)如图，连接DE、连接CD交AE于P，连接FP，由已知得PFBD，PF平面AEF，BD平面AEF，BD平面AEF.(2)过点F作FHAC，可知FH平面ACE，作HOAE，连接OF，由三垂线定理可得，OFAE，FOH为二面角FAEC的平面角不妨设AB1，则AA1，在RtFHC中，FCH60，FH，CH，在RtACE中，AH，AE，AHOAEC，即OH，在RtFOH中，tanFOH1，FOH.即二面角QAEC的大小为.方法二：(1)不妨设AB1，AA1，如图，建立空间直角坐标系，则，B(1,0,0)，D，C，E，F.，设平面AEF的法向量为n1(x1，y1,1)，则即解得：x1，y1，n1，n10，n1，又BD平面AEF，BD平面AEF.(2)设平面AEC的法向量为n2(x2，y2，z2)，即令y21，x2，z20.n2(，1,0)，cosn1，n2，二面角FAEC的大小为.20(本小题满分12分)正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB与BB1的中点(1)求证：EF平面A1D1B；(2)求二面角FDEC的正切值；(3)求三棱锥V1DEF的体积解析：方法一：(1)E、F分别为AB与BB1的中点，EFAB1.而AB1A1B，EFA1B.又D1A1平面ABB1A1，D1A1EF.EF平面A1D1B.(2)设CB交DE的延长线于点N，作BMDN于M点，连FM.FB平面ABCD，FMDN.FMB为二面角FDEC的平面角设正方体棱长为a，则FB，在RtEBN中，EB，BNa，ENa，BMa.在RtFBM中，tanFMB.二面角FDEC的正切值为.(3)连接DB，BB1DD1，SD1DFSD1DB.VD1DEFVED1DFVED1DBVD1DEBSDEBDD12.方法二：如图所示，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，不妨令正方体的棱长为2.(1)E、F分别为AB与BB1的中点，E(2,1,0)，F(2,2,1)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)(0,1,1)，(0,2，2)，(2,0,0)0，0.EFA1B，EFA1D1.EF平面A1D1B.(2)显然，平面DEC的法向量为(0,0,2)设平面DEF的法向量为n(1，y，z)，而(2,1,0)，(2,2,1)，n，n，即解得n(1，2,2)记二面角FDEC的平面角为，cos，则sin，tan.故二面角FDEC的正切值为.(3)与方法一中的(3)相同，这里不再写解法过程21(本小题满分12分)如图，已知四棱锥PABCD的底而直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD2，平面PBC平面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于点E.(1)试探求直线PA与BD的位置关系；(2)求二面角PDCB的大小；(3)判定平面PAD与平面PAB的位置关系解析：(1)PABD.下面给出证明：PBPC，O是BC的中点，POBC.又平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO平面ABCD.BD平面ABCD，POBD.在梯形ABCD中，可得RtABORtBCD，BEOOABDBADBCDBA90，即AOBD.POAOO，BD平面PAO.又PA平面PAO，PABD.(2)DCBC，且平面PBC平面ABCD，DC平面PBC.PC平面PBC，DCPC.PCB为二面角PDCB的平面角PBC是等边三角形，PCB60，即二面角PDCB的大小为60.(3)平面PAD平面PAB.下面给出证明：取PB的中点N，PA的中点M，连接CN.PCBC，CNPB.ABBC，且平面PBC平面ABCD，AB平面PBC.AB平面PAB，平面PBC平面PAB.由、可知，CN平面PAB.连接DM、MN，则由MNABCD，MNABCD，得四边形MNCD为平行四边形，CNDM，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.22(本小题满分12分)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，CD面SAD.且CDSAADSDA