第6章-弯曲变形

第六章梁弯曲时的位移,第一节概述,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,第三节叠加法求梁的位移,第四节梁的刚度校核提高梁的刚度措施,第五节梁内的弯曲应变能,第一节概述,一.研究弯曲变形的目的1.限制构件的变形，使其满足刚度要求。在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,工程实例,车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,工程实例,3.求解超静定问题。,2.利用弯曲变形在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,1.梁的挠曲线deflectioncurve：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。,梁弯曲时的位移,二.基本概念,注:(1)平面弯曲中，挠曲线是一个平面曲线，且连续光滑；(2)梁的挠曲线是弹性曲线；(3)以挠曲线的曲率度量弯曲变形的程度。平面弯曲时，其弯矩与曲率的物理关系:,曲率公式的特征：(1)公式推导中应用了胡克定律，故适用于线弹性范围内。并不计剪力对弯曲变形的影响。(2)等直梁在纯弯曲时，弯矩为常量，挠曲线的曲率也是常量，其挠曲线是一段圆弧线。(3)等直梁在横力弯曲时，其曲率与该处的弯矩成正比，曲率是位置坐标的函数。,2.梁位移的度量：,挠度deflection：梁横截面形心的竖向位移v。单位：mm。向上的挠度为正。,转角rotation：梁横截面绕中性轴转动的角度q。单位：rad，逆时针转动为正。,转角方程(小变形下)：转角是位置坐标的函数。转角与挠度的关系,一、挠曲线近似微分方程deflectionequation,1.力学关系：,2.数学依据：,3.挠曲线近似微分方程：,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,曲线v=f(x)的曲率为,梁平面弯曲时曲率：,二、积分法求梁的挠曲线,2.支承条件与连续条件:,1.,式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。,1)支承条件：,2)连续条件：挠曲线是光滑、连续、唯一的,梁弯曲时的位移,建立坐标系，确定支反力。写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。利用边界条件、连续条件确定积分常数。如果分n段写出弯矩方程，则有2n个积分常数代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。确定最大挠度和最大转角。,3.积分法确定梁弯曲变形的步骤：,解：建立坐标系如图,x处弯矩方程为：,梁弯曲时的位移,例一图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。,例二求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。,解：1、求支反力,梁弯曲时的位移,梁挠曲线大致形状的绘制,步骤：(1)绘制梁的弯矩图。(2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由M的方向确定轴线的凹凸性。(3)根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、协调性，确定挠曲线的大致形状及位置。注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲率也最大。,第三节叠加法求梁的位移,梁弯曲时的位移,说明：1.在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。,3.若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。,2.当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。,如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可直接查表求出各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。,如果不能直接查表，则要采用分段刚化法将其化成可查表形式。,梁弯曲时的位移,例三如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。,1.在F作用下：,2.在q作用下：,3.在F和q共同作用下：,例若图示梁B端的转角B=0，求力偶矩m和P的关系？,解：,例7.求外伸梁C处的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,BC引起的位移,刚化AB,刚化BC，AB部分引起的位移,C,A,B,P,B2,B2,一、梁的刚度校核,除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。,在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：,梁的刚度条件为：,通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。,但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。,第四节梁的刚度校核,梁弯曲时的位移,例四一简支梁受载如图示，已知许用应力160MPa，许用挠度v=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。,解：1、作出梁的弯矩图,2、根据弯曲正应力强度条件，要求,3、梁的刚度条件为：,由此得,由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz3.09xl0-4m3，惯性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。,梁弯曲时的变形,悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力=160MPa，梁的许可挠度/L=1/500。试选择工字钢的型号。,1.按强度选择,查表：选16号工字钢,2.按刚度选择,查表：选22a号工字钢,纯弯曲时梁的弯曲应变能为：,横力弯曲时梁的弯曲应变能为：,梁弯曲时的位移,第五节梁内的弯曲应变能,例五计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度vB，已知梁的弯曲刚度为EI。,解：1、梁任一截面的弯矩为：,2、弯曲应变能为：,3、计算B点的挠度,基本静定系1,l,q,A,B,基本静定系2,超静定问题,用“多余未知力”代替“多余”约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。,第六节简单超静定梁,q,A,B,l,例4.已知:q,l,求图示静不定梁的支反力。,解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,1、钢筋缠绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最大正应力()。,与圆滚筒的半径无关,与圆滚筒的半径成正比,与圆滚筒的半径近似成反比,与圆滚筒的半径严格成反比,分析：,2、等抗弯刚度梁发生平面弯曲时，挠曲线的最大曲率在()处。,转角最大,挠度最大,剪力最大,弯矩最大,分析：,3、与小挠度微分方程相对应的坐标系为（）？,x,y,(a),、(a)和(c),、(c)和(d),、(a)和(d),、(a)和(b),分析：y坐标向下,5不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（）。,2倍,4倍,8倍,16倍,分析：,6.不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的挠度为原来的（）。,2倍,4倍,8倍,16倍,分析：,7弯曲刚度为EI梁，正确说法为（）。,A、B、C处转角相等,B、C处转角不相等,B处挠度为C处的二倍,B处和C处转角相同,8.弯曲刚度为EI的梁，B处转角等于（）。,9.图示力偶矩,则梁B端的转角为（）。,A,、,、,、,、,10.一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下，自由端的挠度与（）。,梁的长度成正比,梁的长度的平方成正比,梁的长度的立方成正比,梁的长度的四次方成正比,分析：,11.简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，刚度都相同，不计自重下，跨中在相同的外力作用下，二者的（）不同。,最大挠度,最大转角,约束反力,最大正应力,分析：显然不选;、性质上并列,分析：,梁AB因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC加固，如图所示。试求,(1)而梁接触处的压力.,(2)加固后AB梁的最大弯矩和B点的挠度减少的百分数。,荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为,和,一、合理配置梁的荷载和支座以减小最大弯矩,1、将荷载分散,2、合理设置支座位置,梁的合理设计,弯曲应力,二、合理选取截面形状以增大抗弯截面系数,最大弯曲正应力与抗弯截面系数成反比；梁所消耗的材料与横截面的面积成正比。所以合理的截面应该是抗弯截面系数大，横截面的面积小。,面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。,弯曲应力,通常以为指标，应尽可能增大这个比值。,应尽量使拉、压应力同时达到最大值。,(1)对于t=c的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘tmax=cmax,(2)对于tc的材料，如铸铁tc，宜用中性轴偏于受拉边的截面。,截面形状和材料特性应与材料特性相适应,三、合理设计梁的外形（等强度梁）,梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。,梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用