贵州省贵阳市2020届高三数学5月适应性考试试题（二）理（含解析）

贵阳市2020年高三适应性考试（二）理科数学第卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求得集合A，然后进行交集运算即可.详解】求解不等式可得：，结合交集的定义可知：.A.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有：.故选：B.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.3.如图，在边长为的正方形内随机投掷个点，若曲线的方程为，则落入阴影部分的点的个数估计值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何概型公式可得落入阴影部分的点的个数估计值.【详解】由题意结合几何概型概率公式可得落入阴影部分的点的个数估计值：.故选：D.【点睛】本题主要考查几何概型公式及其应用，属于基础题.4.关于函数的下列结论，错误的是（ ）A. 图像关于对称B. 最小值为C. 图像关于点对称D. 在上单调递减【答案】C【解析】【分析】将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数图像考查函数的性质即可.【详解】由题意可得：，绘制函数图像如图所示，观察函数图像可得：图像关于对称，选项A正确；最小值为，选项B正确；图像不关于点对称，选项C错误；在上单调递减，选项D正确；故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，函数图像的应用，函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.运行如图所示框图的相应程序，若输入的值分别为和则输出的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合流程图利用判定条件确定输出的数值即可.【详解】由于，据此结合流程图可知输出的数值为：.故选：C.【点睛】本题主要考查流程图的阅读，实数比较大小的方法，对数的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的解析式和函数部分奇函数的特征可得的值.【详解】由题意可得：，而.故选：D.【点睛】本题主要考查函数值的求解，函数部分奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.某几何体的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知该几何体是一个底面半径为高为2的圆柱, 根据球与圆柱的对称性, 可得外接球的半径8.函数，的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式可得函数的值域.【详解】由于，其中，tan，又0x，x+，当x+时，函数取最大值5，又函数在（0，）上单调递增，在（，）单调递减， 当x0时，函数取最小值4，故函数的值域为4，5故选：A.【点睛】本题主要考查辅助角公式，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.10.双曲线的两条渐近线分别为，为其一个焦点，若关于的对称点在上，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由题意首先求得对称点的坐标，然后结合点在渐近线上得到a,b之间的关系即可确定双曲线的渐近线方程.【详解】不妨取，设其对称点在，由对称性可得：，解得：，点在，则：，整理可得：，双曲线的渐近线方程为：.故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线渐近线的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.不等式，恒成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的特征，然后结合函数图像求得k的取值范围即可确定k的最小值.【详解】令，则，很明显函数的周期为，由导函数的符号可得函数在区间上具有如下单调性：在区间和上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，考查临界条件，满足题意时，直线恒在函数的图像的上方，临界条件为直线与曲线相切的情况，此时，即的最小值为.故选：A.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数求解切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得，由得，点A在椭圆上，则：，整理可得：.故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.展开式中的常数项为_【答案】.【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】通项公式Tr+1（x2）6r（1）rx123r，令123r0，解得r4展开式中的常数项15故答案为15【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.的内角，的对边分别为，且，则_【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和同角三角函数基本关系即可确定的值.【详解】由题意结合正弦定理有：，即，整理变形可得：，即.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，正弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.用一个平面去截圆柱，截得一离心率为的椭圆，则平面与圆柱底面所成锐二面角的余弦为_【答案】.【解析】【分析】根据椭圆的几何特征，椭圆上两点间的最长距离是长轴长，最短距离是短轴长，结合轴截面图形进行求解即可【详解】设圆柱的底面直径为2，所以由题意可得椭圆的短轴长是2，又椭圆的离心率为e，椭圆的长轴长为， 又过椭圆长轴的轴截面图形如图，JK是底面直径，长度为2，三角形是直角三角形，椭圆的长轴长=LJ，cosKJL=故答案为.【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，以及椭圆的性质，是解析几何与立体几何结合的一道综合题16.圆与曲线相交于，四点，为坐标原点，则_【答案】.【解析】【分析】先求得圆心坐标，再利用圆与曲线的对称性结合向量的加法法则可得 ，计算即可.【详解】圆的圆心为M（-3，2），圆关于M（-3，2）中心对称，又曲线，关于（-3，2）中心对称，圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，不妨设与，与关于（-3，2）中心对称，则， ，故答案为.【点睛】本题主要考查圆及反比例函数的对称性的应用，平面向量的运算法则，意在考查学生的转化能力，属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列的前项和为，公差，已知，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记点，求证：的面积为.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意求得首项和公差即可确定数列的通项公式；(2)结合(1)中的通项公式可得前n项和公式，结合图形的特征计算三角形的面积即可.【详解】（1）由题意得由于，解得，；（2）由（1）知的面积 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解市空气质量情况，从年每天的值的数据中随机抽取天的数据，其频率分布直方图如图所示.将值划分成区间、，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率 .（1）根据年的数据估计该市在年中空气质量为一级的天数；（2）如果市对环境进行治理，经治理后，每天值近似满足正态分布，求经过治理后的值的均值下降率.【答案】（1）91.(2) .【解析】【分析】(1)由频率近似概率，计算空气质量为一级的天数即可；(2)先由频率分布直方图求解未治理前的均值，再由正态分布得到治理后的均值，从而可得均值下降率.【详解】（1）由样本空气质量的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：值频率由上表可知，如果市维持现状不变，那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为，因此在天中空气质量为一级的天数约有（天）.（2）如果市维持不变，那么该市的值的均值约为 由于该市的环境进行治理，治理后每天值近似满足，所以治理后的值的均值为，因此市治理后的值的均值下降率为【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查了均值的运算及正态分布的知识，考查计算求解能力，属于中档题.19.如图（1）中，分别是与的中点，将沿折起连接与得到四棱锥（如图（2），为线段的中点.（1）求证：平面；（2）当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】(1)作出辅助线，结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；（2）先证得体积最大时，平面，建立空间坐标系，求得平面的法向量，利用空间向量法求解线面角即可.【详解】（1）取的中点，连接，由于是的中点，且又，分别为与的中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）当四棱锥体积最大时，平面平面由于，平面，建立如图所示的坐标系，由题知，设平面的法向量，则，即，取一组解，记与平面所成角为，则 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查了空间向量法解决空间角的问题，考查计算求解能力，属于中档题.20.过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，.（1）求的值；（2）若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】(1)由题意分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定p的值；(2)设出点的坐标，结合(1)中的结论利用点斜式得到直线BD的方程，由直线方程即可证得直线恒过定点.【详解】（1）当直线轴时，可得，由得，当直线与轴不垂直时，设的方程为代入得，设，则，由得，即，综上所述.（2）由（1）知抛物线方程为，由于，关于轴对称，故的坐标为，所以直线的方程为 ，即，又，所以，直线恒过点.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若曲线的一条切线方程为，（i）求的值；（ii）若时， 恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析.(2)（i）1, （ii）.【解析】【分析】（1）求导后，分和两种情况，解得与的解集，可得的单调性.（2）（i）设切点为，由题意利用切线与导函数的关系建立方程组即可确定b的值；（ii）将原问题转化为函数在给定区间上单调性的问题，利用导函数研究函数单调性的方法即可确定实数的取值范围.【详解】由得，若，则，即在上是增函数；若，令得，令得，即在上是单调减函数，在上是单调增函数.（2）（i）设切点，得由题意得，消去与得，令，时，；时，；时，；在上是减函数，在上是增函数，即仅有一个零点，即方程仅有一个根，（ii）由（i）知， 即为 由知，上式等价于函数在为增函数，即，令，时，；时，；时，在上单调递减，在上单调递增，则，即，所以实数的范围为.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性及切线方程，利用导数研究恒成立问题等知识，考查了转化能力和计算求解能力，属于较难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）（1）写出的直角坐标方程与的普通方程；（2）直线与曲线相交于两点，设点，求的值.【答案】(1) 的直角坐标方程为，的普通方程为. (2) 【解析】【分析】(1)由题意利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式和参数方程与普通方程互化的方法可得相应的方程；(2)由题意联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合参数方程的几何意义即可确定的值.【详解】（1）曲线C的方程即，利用极坐标与直角坐标方程互化公式可得的直角坐标方程为，消去参数可得直线的普通方程为.（2）由（1）知点在直线上，所以直线的参数方程可改写为（为参数），将代入得，即，所以，根据参数的几何意义知 .【点睛】本