高中数学 1.3.3球的表面积与体积学案 新人教A版必修2_第1页
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球的表面积与体积1球的体积和表面积2等积变换3轴截面的应用1（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.（3）一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器). 参考答案：1（1）8倍；（2）（3）104.经典习题例1已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积 【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面 【解析】 如图，设球心为O，球半径为R，作OO1平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，则O1是ABC的外心 设M是AB的中点，由于AC = BC，则O1CM设O1M = x，易知O1MAB，则O1A = ，O1C = CM O1M = x 又O1A = O1C 解得则O1A = O1B = O1C = 在RtOO1A中，O1O = ，OO1A = 90，OA = R，由勾股定理得解得故图439例2如图所示棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC =，且PD是四棱锥的高（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；（2）求四棱锥外接球的半径【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R，SABCD = a2VP ABCD = VS PDA + VS PDC + V S ABCD + VS PAB + Vs PBC ，BACDPF图4310，所以，即球的最大半径为（2）法一：设PB的中点为F因为在RtPDB中，FP = FB = FD，在RtPAB中，FA = FP = FB，在RtPBC中，FP = FB = FC，所以FP = FB = FA = FC = FD所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径法二：球心O在如图EF上，设OE = x，EA = ，又即球心O在PB中点
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