浅谈对分段函数的认识 苏教版

浅谈对分段函数的认识江苏省江阴长泾中学 张义红 邮编：214411所谓分段函数指的是自变量在不同的取值范围内，有不同的表达式。分段函数由于是分段定义的，与一般函数有着明显的区别，学生往往受负迁移的影响，对分段函数问题的认识不清或思维片面产生解题错误。本文就对分段函数作一肤浅的探讨。一 求分段函数的函数值或求分段函数的自变量的值例1 已知函数则求，的值.解：由分段函数的定义可知，.例2 已知函数，若，求的值.解：由于函数的自变量在不同的取值范围内，有不同的表达式，所以当时，由，得，但，所以舍去当时，由，得，但，所以舍去。即得当时，由，得，但，所以舍去综上所述，所求的为.评：利用分段函数的定义可以由自变量的值去求对应的函数的值，反之也可以根据给出的函数值求出对应的自变量的值。注意：只有满足它的自变量的范围才能用与之对应的解析式。二 作分段函数的图象例3已知函数，求作函数的图象.解：由函数的定义域，知的定义域是，即，所以，分段作出函数图象如图：评：在解题时经常把含有绝对值的函数解析式写成分段函数形式，如：，写时要注意复合函数的定义域的改变，再分段去作图。根据此函数图象还可以直观看出函数的最值。三 求分段函数的解析式 例4如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为，的面积为.（1） 求的面积与P移动的路程间的函数关系式.（2） 作出函数图象，并根据图象求函数的最大值.解：（1）.当P在BC线段上移动时，移动的距离为（），P点的位置如图所示，所以的面积为.当P在CD线段上移动时，移动的距离为（），P点的位置如图所示，所以的面积为.当P在DA线段上移动时，移动的距离为（），P点的位置如图所示，所以的面积为综上：的面积为（2）.由（1）所求的的解析式，作出的图象，由图象可知.评：由于点P在运动的过程中所处的位置不同，的面积也不同，所以的面积的解析式是一个分段函数。解决此类问题的重点是：为什么自变量的不同取值，函数解析式也不同，如何分段，分段后如何求函数解析式。四 求分段函数的最值例5某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为：，其中是产品售出的数量，且.（1） 若为年产量，表示利润，求的解析式.（2） 当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值为多少？解：（1）当时，产品全部售出；利润函数.当时，产品只能售出500部；利润函数=.所以利润函数.（2）当时， .故当时，. 当时，即.故当年产量为475部时，工厂的年利润最大，最大值为107812.5.评：（1）这是实际问题。应注意对关键词句的理解，如“市场对此产品的需求量为每年500部”，即当时，产品全部售出；当时，产品只能售出500部，故利润函数是关于的分段函数，应分段求解.（2）求有关分段函数求最值时，应先求出每一定义域对应的解析式的最大（小）值